Consideriamo l'inversione di centro $A_1$+simmetria rispetto alla bisettrice in $A_1$. La retta $AB$ va nella circonferenza $\gamma$ per $A_1$ tangente in $B_1$ a $B_1C_1$ e la retta $AC$ va nella circonferenza $\omega$ per $A_1$ tangente in $C_1$ a $B_1C_1$. La retta $BC$ va nella sua simmetrica $B'C'$ rispetto alla bisettrice di $\angle B_1A_1C_1$. L'incerchio va nella retta $B_1C_1$ e viceversa. $B$ va nell'intersezione $B'$ fra $\gamma$ e la simmetrica di $BC$, $C$ nell'intersezione $C'$ fra $\omega$ e la simmetrica di $BC$. $\omega_A$ va nella circonferenza per $B'$, $C'$ tangente a $B_1C_1$. Il punto di tangenza $A''$ è il trasformato di $A_2$.
Claim 1
$B'C'$ parallela a $B_1C_1$.
L'angolo $\angle A_1C_1B_1$ vale $90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}$, mentre l'angolo $\angle CA_1X$, dove $X$ è un punto su $C_1A_1$ dalla parte opposta di $C_1$ rispetto ad $A_1$ vale $180^{\circ}-[90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}+90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}]=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}$. Analogamente $\angle A_1B_1C_1$ vale $90^{\circ}-\frac{\beta}{2}$ e $\angle BA_1Y$, dove $Y$ è un punto su $B_1A_1$ dalla parte opposta di $B_1$ rispetto ad $A_1$ vale $180^{\circ}-[90^{\circ}-\frac{\beta}{2}+90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}]=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}$. Dunque $BC$ e $B_1C_1$ sono antiparallele rispetto ad $A_1C_1$ e $A_1B_1$, pertanto $B'C'$ ,in quanto simmetrica di $BC$ rispetto alla bisettrice di $\angle B_1A_1C_1$, è parallela a $B_1C_1$.
Claim 2
$A_1A''$ e cicliche concorrono.
$\angle C'A_1C_1=\angle A_1C_1B_1=\gamma'=\angle A_1C'C_1$ per il parallelismo tra le rette di prima e per angoli alla circonferenza. Analogamente $\angle B'A_1B_1=\angle A_1B_1C_1=\beta'=\angle A_1B'B_1$.
Dunque $A_1B'B_1$ e $A_1C'C_1$ sono isosceli. Il punto $A''$ è l'intersezione fra $B_1C_1$ e l'asse di $B'C'$, dato che si ha $\angle B_1A''B'=\angle A''B'C'$ per parallelismo e $\angle B_1A''B'=\angle A''C'B'$ per angoli alla circonferenza, quindi $\angle A''C'B'=\angle A''B'C'$ e dunque il triangolo $A''B'C'$ è isoscele.
Ora fissiamo un riferimento con origine in $A_1$ e, chiamando $a,b,c$ i lati di $A_1B_1C_1$, si ha che $C'=-2b\cdot cos\gamma$ e $B'=2c\cdot cos\beta$, dunque il punto medio $M=c\cdot cos\beta-b\cdot cos\gamma$. Essendo $A''$ la proiezione di $M$ su $B_1C_1$, si ha $C_1A''=c\cdot cos\beta-b\cdot cos\gamma+b\cdot cos\gamma=c\cdot cos\beta$; analogamente $B_1A''=b\cdot cos\gamma$. Ripetendo ciclicamente il ragionamento per $B_1$ e $C_1$, si ottiene che le tre rette concorrono nel coniugato isotomico $Z$ dell'ortocentro di $A_1B_1C_1$.
Ora evidentemente $A_1A_2$ e cicliche concorrono per come le abbiamo costruite nel coniugato isogonale di $Z$.
