SNS mate 2014/2015

[Raspy]

Ciao ragazzi.
Cercherò di sintetizzarvi quali erano gli esercizi di quest'anno (il 6 non ho capito il testo e non me lo ricordo... )
1: Trovare tutte le terne di numeri interi positivi (a,b,c) tali che: $ a^7+b^7=7^c $
2: Di tutti i triangoli che al interno hanno un quadrato di area 1, quali hanno area minima?
3: Una città si può schematizzare come un piano cartesiano dove le strade hanno equazione $ x=n, y=n $ dove n appartiene ai numeri naturali. la città è attraversata da un fiume che si può descrivere come una retta di equazione $ y=x+1/2 $. Alessia parte dal punto $ (0,0) $ e decide di percorrere le strade o a nord(asse y) o a est (asse x):
a) quanti sono i percorsi verso il punto $ (a,b) $ tali che non attraversino il fiume?
b) detta $ p $ la probabilità di andare a est, e $ q=1-p $ la probabilità di andare a nord, dimostrare che la probabilità che Alessia ha di attraversare il fiume almeno una volta dopo n incroci tende a $ q/p $.
4: Clara e Guelfo giocano al seguente gioco: Partono con un numero e ognuno può decidere o di dividere il numero per un suo fattore primo o, se il numero è un quadrato perfetto, di estrarne la radice quadrata. esempio: se il numero di partenza è 16, uno può decidere di dividere per 2, e ottiene 8, oppure di estrarre la radice, e ottiene 4. A ognuno spetta una sola mossa, e vince chi, con l'ultima mossa ottiene 1. Ognuno gioca con strategia ottimale ed inizia Clara.
a) Dimostrare che se il numero di partenza è $ 3^{2014} $ vince Clara.
b) Dimostrare che se il numero di partenza è $ 15^{4028} $ vince Guelfo.
5: f è un polinomio di 1007simo grado tale che $ f(k)=2^k $ per ogni k intero positivo che va da 0 a 1007. quanto vale $ f(2015) $?
Che ne pensate? ho risolto il 2, il 4(Punto b dubbio), 3(punto 1 dubbio, iniziato punto 2), qualche riflessione su 1 e 5... secondo voi ho qualche chance di fare la prova orale? Fisica è andata paradossalmente meglio delle mie aspettative (7 problemi, 3 risolti, 3 metà). Buon pomeriggio

[Half95]

secondo me qualche possibilità ce l hai però bisogna vedere cosa hanno fatto gli altri

[Faaaabio]

Diciamo che i problemi 3 e 5 rivelano chiaramente (per gli olimpionici almeno) l'identità di uno dei membri del fantomatico team che scrive questi testi d'ammissione...
L'impressione generale tra mate e fisica è che comunque la gara sia stata messa insieme di fretta, considerando la quantità di problemi semi noti e l'orribile problema 2 di matematica

[Loara]

Il numero $1$ è un caso particolare di un problema già apparso ai test. Di preciso è il numero 3 del test di ingresso SNS 2001-2002.

[trenta3]

Il 2 come lo hai risolto?
Io ci sono stato a pensare un sacco ma non ne sono venuto a capo.
Neanche un'ideuzza

[NoAnni]

dimostrare che la probabilità che Alessia ha di attraversare il fiume almeno una volta dopo n incroci tende a $ q/p $.

Mi pare che ti chiedessero di dimostrare che è minore o uguale a $\frac{q}{p}$, altrimenti mi pare un po' falso

[Raspy]

Mi pare che ti chiedessero di dimostrare che è minore o uguale a $ q/p $ , altrimenti mi pare un po' falso

Sinceramente non mi ricordo di preciso quale fosse la consegna... probabilmente hai ragione te.

Il 2 come lo hai risolto?
Io ci sono stato a pensare un sacco ma non ne sono venuto a capo.
Neanche un'ideuzza

Trigonometria e analisi... è molto lungo da spiegarti in poco tempo... comunque venivano funzioni con incognita i vari angoli dei triangoli considerati, con termini $ tg(x) $ e $ cotg(x) $ ... non era difficile, sono che la soluzione l'ho scritta in un'ora e mezza...

[auron95]

dimostrare che la probabilità che Alessia ha di attraversare il fiume almeno una volta dopo n incroci tende a $ q/p $.

Mi pare che ti chiedessero di dimostrare che è minore o uguale a $\frac{q}{p}$, altrimenti mi pare un po' falso

No, dovrebbe essere solo una tesi più forte di quella richiesta dal problema, ma se non erro veritiera!

[Loara]

Ecco il numero 6:
Durante l'importazione di un file dalla rete, l'utente riceve ogni secondo il segnale "Mancano $t_n$ secondi alla fine del downloading", done $n$ è il numero di secondi trascorsi dall'inizio dell'importazione. Il presunto tempo mancante $t_n$ al secondo $n$-esimo viene calcolato dal computer ricevente assumendo che la quantità di dati trasferita in ciascuno dei secondi successivi si mantenga uguale alla quantità $k_n$ di dati trasmessi nel secondo appena terminato.
Essendo note solo la dimensione del file e la sequenza dei tempi mancanti $t_n$, si determini la formula che fornisce i valori $k_n$ e la frazione di file che rimane da trasferire al termine dei primi $n$ secondi. Si determini anche sotto quale condizione sui valori $k_1, k_2, \cdots k_n$ si verificerà la situazione (apparentemente contraddittoria) in cui $t_n>t_{n-1}$

Inoltre il problema 5 è molto più semplice di quanto possa sembrare (almeno per chi ha dimestichezza con le olimpiadi).

[Raspy]

Grazie Loara... è proprio lui... il malefico!!!!

[NoAnni]

dimostrare che la probabilità che Alessia ha di attraversare il fiume almeno una volta dopo n incroci tende a $ q/p $.

Mi pare che ti chiedessero di dimostrare che è minore o uguale a $\frac{q}{p}$, altrimenti mi pare un po' falso

No, dovrebbe essere solo una tesi più forte di quella richiesta dal problema, ma se non erro veritiera!

E se $q=\frac{9}{10}$ e $p=\frac{1}{10}$?

[auron95]

Beh, PALESE che è vera solo se $q\le p$, altrimenti risulterebbe un po' strano (visto che non stiamo parlando dell'1 di fisica)

[NoAnni]

Beh, PALESE che è vera solo se $q\le p$

Beh, PALESE che allora è falsa in generale, e allora quite non cìsta metterla come testo del problema solo perché vuoi fare il Gangsta

[gpzes]

$f(2015)=2^{2015}$

[Loara]

$f(2015)=2^{2015}$

Credo che tu abbia sbagliato a battere, perché il risultato non è $f(2015)=2^{2015}$.