fph ha scritto:Posso rispondere riguardo ad A2, visto che una perizia calligrafica potrebbe incriminarmi.
Ti faccio uno sketch di quello che si è detto.
Idea 1: cominciamo a costruire un polinomio che soddisfi le prime $n+1$ condizioni: nota che è univocamente determinato, per teoria.
Teoria 1: ci sono quattro modi per costruirlo: si inverte una Vandermonde, ci si porta da casa la formula di Lagrange (e questi due sono un po' di lavoro in questo caso), oppure si sistema in modo greedy condizione per condizione (una volta costruito un polinomio che sistema tutte le condizioni fino a $f(\alpha_i)=y_i$, quello che rimane è un multiplo di $x-\alpha_{i+1}$, quindi si costruisce con quella formula e vengono i binomiali), oppure con la tabella delle differenze finite, di cui si parla anche in qualche senior (esempio: A3M/2012). In questo caso la tabella delle differenze finite comincia con tante potenze di due, quindi è facile da costruire.
Digressione di teoria 1: tra l'altro, dalla FDA c'è un metodo di ricostruire tutto il polinomio e non solo grado e ultimo coefficiente: se scrivi il polinomio nella "base dei monomi" $p(x)=\sum_{\ell=0}^n c_\ell \binom{x}{\ell}$, i $c_\ell$ sono proprio i coefficienti nella prima colonna storta contenente $p(0)$, $p(1)-p(0)$... Dimostrazione di questo fatto: prova a vedere cosa succede alla FDA se la fai per $p(x)=\binom{x}{\ell}$; il primo pezzo è un Tartaglia rovesciato
Digressione 2: provate a fare con queste idee il "problema dei burocrati" che era alla gara a squadre 2014 e che non ha fatto nessuno.
Idea 2: una volta trovato questo polinomio con uno dei due metodi, bisogna vedere quanto fanno $p(n+1)$ e $p(n+2)$. Se hai la formula è facile, se invece l'hai fatto con la FDA puoi "tornare su" dall'ultima riga di costanti e riempire le ultime due colonne (freccine in viola nel pdf). Insomma, una di queste è soddisfatta e l'altra no.
Idea 3: come mai questa soluzione è unica? Supponiamo che ci siano due polinomi di grado n (sì, che abbiano grado n è nelle ipotesi anche del punto b. Se non lo fosse è facile costruire controesempi moltiplicando per polinomi di grado alto a piacere che si annullano in tutti i punti del problema) che soddisfano ognuno n+2 condizioni delle n+3. Ma allora in quanti punti coincidono? E allora cosa succede se coincidono in quel numero di punti?
Insomma, ci sono due modi alternativi di costruire il polinomio, uno usa la formula con i binomiali costruita con le mani o portata da casa, l'altro usa la FDA. A voi per arrivare a una soluzione ne basta uno, chiaramente. Nel pdf uno l'ha scritto Morandin e uno io alla fine. E l'altra parte dell'esercizio l'ho fatta solo io alla fine.