Qualche idea?
-
- Messaggi: 69
- Iscritto il: 10 apr 2015, 18:19
Qualche idea?
Potrebbe qualcuno gentilmente risolverlo? (entrambi i punti )
Sia $f:\mathbb{R^+} \longrightarrow \mathbb{R^+}$ una funzione tale che per qualsiasi $x,y >0$ vale $$f(x+y)-f(x-y)=4\sqrt{f(x)f(y)}$$
1) Dimostrare che $f(2x)=4f(x)$
2) Trovare tutte le possibili funzioni.
Sia $f:\mathbb{R^+} \longrightarrow \mathbb{R^+}$ una funzione tale che per qualsiasi $x,y >0$ vale $$f(x+y)-f(x-y)=4\sqrt{f(x)f(y)}$$
1) Dimostrare che $f(2x)=4f(x)$
2) Trovare tutte le possibili funzioni.
-
- Messaggi: 169
- Iscritto il: 28 lug 2014, 10:01
- Località: Genova, Pisa
Re: Qualche idea?
Direi che il dato $x>y$ è omesso perché è necessario quindi scontato... vero?
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
-
- Messaggi: 169
- Iscritto il: 28 lug 2014, 10:01
- Località: Genova, Pisa
Re: Qualche idea?
Ok, io dovrei (foooorse) essere riuscito a fare il punto 1 e ho posto buone basi per il punto 2, ma non riesco a concluderlo:
Testo nascosto:
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
Re: Qualche idea?
In realtà, una volta svolto il lavoro di erFuricksen direi che si è a buon punto.
A questo punto ci sarebbe effettivamente da sistemare la parte di cui ti manca una dimostrazione rigorosa, la quale al momento sfugge anche a me...
Testo nascosto:
Ultima modifica di Delfad0r il 29 nov 2015, 20:45, modificato 1 volta in totale.
-
- Messaggi: 169
- Iscritto il: 28 lug 2014, 10:01
- Località: Genova, Pisa
Re: Qualche idea?
Mi sa che mi sono un po' perso come passiamo dai razionali ai reali cioè, quello che non capisco è: ma $x_n$ è comunque una successione di razionali, mi darà comunque un limite sui razionali
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
Re: Qualche idea?
Non sono sicuro di capire l'obiezione (il che non implica che quello che ho scritto non sia sbagliato).
$x_n$ puoi vederla come una funzione $\mathbb{Z}^+\to\mathbb{R}^+$, e ad esempio possiamo definirla come: $x_n=$ un qualsiasi razionale compreso fra $x+\frac{1}{2^n}$ e $x+\frac{1}{2^{n-1}}$. A questo punto è evidente che $\lim_{n\to\infty}x_n=x$, ma tutti gli $x_n$ sono comunque razionali.
Se c'è qualcosa che ancora non ti torna prova ad essere più specifico, così posso spiegarmi meglio (oppure trovare meglio l'errore ).
$x_n$ puoi vederla come una funzione $\mathbb{Z}^+\to\mathbb{R}^+$, e ad esempio possiamo definirla come: $x_n=$ un qualsiasi razionale compreso fra $x+\frac{1}{2^n}$ e $x+\frac{1}{2^{n-1}}$. A questo punto è evidente che $\lim_{n\to\infty}x_n=x$, ma tutti gli $x_n$ sono comunque razionali.
Se c'è qualcosa che ancora non ti torna prova ad essere più specifico, così posso spiegarmi meglio (oppure trovare meglio l'errore ).
Re: Qualche idea?
... non penso sia vero: i razionali sono densi nei reali...ossia esistono successioni di razionali il cui limite NON è razionale.erFuricksen ha scritto:Mi sa che mi sono un po' perso come passiamo dai razionali ai reali cioè, quello che non capisco è: ma $x_n$ è comunque una successione di razionali, mi darà comunque un limite sui razionali
Volendo essere più precisi, e per evitare sensazioni di circolarità nei ragionamenti, bisognerebbe esplicitare bene il fatto che per le funzioni monotòne esiste sempre il limite, finito o no, che sono inf o sup...
$\begin{align}
& f(3x)-f(x)=4\cdot \sqrt{f(2x)\cdot f(x)}=4\sqrt{4\cdot {{(f(x))}^{2}}}=8\cdot f(x) \\
& f(3x)={{3}^{2}}\cdot f(x) \\
& ..... \\
\end{align}$
Re: Qualche idea?
Testo nascosto:
-
- Messaggi: 706
- Iscritto il: 14 set 2005, 11:39
- Località: Chiavari
Re: Qualche idea?
Ok, questo è davvero un esercizio di analisi 1, e quindi lo tratterò come tale. erFuricksen ha fatto un buon lavoro, ma mi permetto una piccola correzione: dire che $f$ è continua in 0 non vuol dire assolutamente nulla; per essere continua in un punto $x_0$, una funzione $g$ deve per lo meno essere definita in $x_0$, visto che la definizione di continuità è $\lim_{x \to x_0} g(x)=g(x_0)$. Quello che intendi - e che hai anche scritto, quindi non prendere questa come una critica, ma solo come una correzione di linguaggio - è effettivamente che $\lim_{x \to 0} f(x)$ esiste e vale 0.
Per arrivare ad una dimostrazione formalmente completa, il fatto principale che vi manca è il seguente:
Esercizio. Sia $I$ un intervallo di $\mathbb{R}$ e $f : I \to \mathbb{R}$ una funzione monotona. Allora l'insieme dei punti di discontinuità di $f$ è al più numerabile. In particolare, $f$ è continua in un sacco di punti!
Hint(one, ma se non avete mai visto un esercizio del genere potrebbe esservi necessario):
Per arrivare ad una dimostrazione formalmente completa, il fatto principale che vi manca è il seguente:
Esercizio. Sia $I$ un intervallo di $\mathbb{R}$ e $f : I \to \mathbb{R}$ una funzione monotona. Allora l'insieme dei punti di discontinuità di $f$ è al più numerabile. In particolare, $f$ è continua in un sacco di punti!
Hint(one, ma se non avete mai visto un esercizio del genere potrebbe esservi necessario):
Testo nascosto:
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
Membro dell'EATO
Membro dell'EATO
Re: Qualche idea?
Un altro modo (ma sono tutti sostanzialmente equivalenti) potrebbe essere:
data una funzione continua, nulla su tutti i razionali, allora essa è la funzione identicamente nulla su tutti i reali. Ossia, se due funzioni continue coincidono sui razionali allora esse coincidono sui reali.
In pratica, nel nostro problema, si può dire che ad $a/b$ numero razionale si può sostituire $x$ numero reale, estendendo univocamente la funzione.
Comunque sia avrei fatto così per punto 1):
f è monotòna quindi $\exists \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = l \ge 0,x > y > 0.$ (1)
Ma allora deve essere $l - l = 4\sqrt {{l^2}} \to l = 0.$ per $x$ e $y$ che tendono (contemporaneamente) a zero da destra, perché esistono separatamente i limiti dei sottraendi. Basta porre $x + y = u,x - y = v $ e usare (1).
Allora , FISSATO $x$, $\mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} f(x + y) = \alpha ,\mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} f(x - y) = \beta ,\alpha \ge f(x) \ge \beta \ge 0$ perché f monotòna.
Ma $\mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} f(x + y) - f(x - y) = 0$, quindi $\alpha - \beta = 0 \to \alpha = \beta = f(x)$ , da cui la continuità in $x$.
data una funzione continua, nulla su tutti i razionali, allora essa è la funzione identicamente nulla su tutti i reali. Ossia, se due funzioni continue coincidono sui razionali allora esse coincidono sui reali.
In pratica, nel nostro problema, si può dire che ad $a/b$ numero razionale si può sostituire $x$ numero reale, estendendo univocamente la funzione.
Comunque sia avrei fatto così per punto 1):
f è monotòna quindi $\exists \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = l \ge 0,x > y > 0.$ (1)
Ma allora deve essere $l - l = 4\sqrt {{l^2}} \to l = 0.$ per $x$ e $y$ che tendono (contemporaneamente) a zero da destra, perché esistono separatamente i limiti dei sottraendi. Basta porre $x + y = u,x - y = v $ e usare (1).
Allora , FISSATO $x$, $\mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} f(x + y) = \alpha ,\mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} f(x - y) = \beta ,\alpha \ge f(x) \ge \beta \ge 0$ perché f monotòna.
Ma $\mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} f(x + y) - f(x - y) = 0$, quindi $\alpha - \beta = 0 \to \alpha = \beta = f(x)$ , da cui la continuità in $x$.