SNS 2000

[sqrt2]

Una certa quantità, Q, che può assumere valori sia positivi sia negativi, a intervalli regolari di tempo si incrementa di una unità con probabilità 1/4, si decrementa di una unità con probabilità 1/4 o resta invariata con probabilità 2/4. Supponendo che Q sia inizialmente nulla, si determini una formula per la probabilità $ P_{n,k} $ che dopo n intervalli di tempo Q valga k unità (quindi $ P_{1,-1} = P_{1,1} = 1/4, P_{1,0}= 2/4 $).

[bh3u4m]

Prendi il triangolo di Tartaglia, ci si accorge che il percorso indicato è tale che prenda solo le righe pari del triangolo. Lo si può facilmente dimostrare osservando i percorsi fra le due righe.

[HomoPatavinus]

innanzitutto non è chiaro ciò che vuoi dire, in secondo luogo il triangolo di tartaglia aumenta di 1 elemento per ogni riga mentre i numeri che puoi ottenere con Q aumentano di 2 elementi per ogni riga, quindi temo sia sbagliato.

[HomoPatavinus]

scusami, risolvendo l'esercizio ho capito cosa volevi dire, Provo a spiegarlo meglio;
la probabilità di ottenere il numero K dopo N fasi è pari al coefficiente che trovi alla X che ha N+K come esponente nell'espressione (X+1)^2N moltiplicato per (1/4)^N . ovviamente chi conosce il binomio di newton può esprimere il risultato in maniera molto più elegante.

[Simo_the_wolf]

$ \frac 1{4^n} \binom {2n}{n+1} $

[Levy]

Ciao HomoPatavinus!

la probabilità di ottenere il numero K dopo N fasi è pari al coefficiente che trovi alla X che ha N+K come esponente nell'espressione (X+1)^2N moltiplicato per (1/4)^N .

Ti posso chiedere come hai fatto a dimostrarlo?

[giackk83]

Ciao a tutti,

mi potreste dire come si scrivono delle formule nel forum? Perchè ho una formula con il carattere "landa" e frazione e non so come scriverlo qui nel forum.

Grazie.

[Sisifo]

OT terribile, ma comunuque..

Codice: Seleziona tutto

[tex]\lambda[/tex]

per altre informazioni vai su 'LaTeX questo sconosciuto'

[Levy]

Davvero mi interessa capire come si arriva alla formula di Simo
c'è qualche anima pia che me lo spiega?
grazie

tra l'altro a breve devo fare l'esame di Statistica...

[EvaristeG]

Vediamo se riesco a farmi capire : supponi di avere una quantità Q', che ogni unità di tempo può diminuire o incrementare di 1 con probabilità 1/2 (NON rimane ferma). Ovviamente, la situazione del problema originale può essere vista come quella appena descritta, a patto di guardarlo ogni due unità di tempo e di dimezzare Q'.
Ora, chiamiamo $ P'_{n,k} $ la probabilità che Q' valga k al tempo n.
Di certo, poichè n+k è due volte il numero degli incrementi positivi, n e k devono avere la stessa parità, altrimenti non è possibile che Q' valga k al tempo n. Inoltre, il sistema
$ p_++p_-=n $
$ p_+-p_-=k $
ha una sola soluzione per $ p_+,p_- $:
$ p_+=\dfrac{n+k}2 $$ p_-=\dfrac{n-k}2 $
Se questi due numeri sono interi, possiamo dire che la probabilità voluta è
$ P'_{n,k}=\dfrac{1}{2^n}{n\choose\frac{n+k}2}=\dfrac{1}{2^n}{n\choose\frac{n-k}2} $
in quanto basta scegliere in quali degli n istanti di tempo fare un passo avanti (o indietro) e nei restanti siamo obbligati a farlo nell'altra direzione.

Ora, abbiamo detto che $ P_{n,k}=P'_{2n,2k} $ e dunque
$ P_{n,k}=\dfrac{1}{2^{2n}}{2n\choose n+k} $

[CoNVeRGe.]

Vediamo se riesco a farmi capire : supponi di avere una quantità Q', che ogni unità di tempo può diminuire o incrementare di 1 con probabilità 1/2 (NON rimane ferma). Ovviamente, la situazione del problema originale può essere vista come quella appena descritta, a patto di guardarlo ogni due unità di tempo e di dimezzare Q'.

Scusami ma non capisco questo passaggio...

La probabilità che la quantità Q dopo due intervalli di tempo sia -2,-1,0,+1,+2 è (rispettivamente) 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16 (a meno di cavolate).

Mi sembra di capire che tu assumi che dopo un doppio intervallo di tempo la quantità non possa essere nulla.

Potresti spiegarmi?

[EvaristeG]

Semplicemente non hai capito cosa si raddoppia e cosa si dimezza.
La quantità che definisco io non guarda Q ogni 2 tempi, guarda Q ogni mezzo tempo.
Se tu consideri una quantità come quella che ho descritto io, dopo 2 unità di tempo, avrai 1/4 di probabilità che sia aumentata di 2, 1/4 di probabilità che sia diminuita di 2, 1/2 di probabilità che sia rimasta invariata.

[lorecampus]

Ho visto un po di dibattito sulla soluzione, se quella proposta fosse giusta sarebbe molto più elegante della mia ma visto che siamo almeno in due a non capirla appieno ne mostro una più spartana:
Perche si raggiunga un punteggio k (positivo convenzionalmente, se fosse negativo sarebbe assolutamente simmetrico) devono verificarsi:
- k volte (+1)
- i volte (-1) e ulteriori i volte (+1)
- un numero qualunque di volte (+0) eperciò ad esclusione su n lanci dovrà avvenire (n-k-2i) volte
Uno di questi insiemi di questo tipo può verificarsi in più ordini diversi (pre esempio prima tutti i (+1) poi tutti i (+0) poi tutti i (-1) oppure mischiati), il numero di permutazioni possibili in cui possono avvenire tutti gli n eventi è:
[math]\frac{n!}{(k+i)!(i)!(n-k-2i)!}

Per il principio additivo (=se stai contando casi o probabilità di eventi mutualmente esclusivi devi sommare tra loro i casi/le probabilità) dobbiamo sommare tra loro tutti i casi per ogni i possibile. Notiamo che i può variare da 0 a [math]\frac{n-k}{2} arrotondato per difetto (nel caso n-k fosse dispari) ovvero [math]\lfloor \frac{n-k}{2} \rfloor perciò la probabilità che in n estrazioni si raggiunga un numero k è:

[math] P_{n,k} = \sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n-k}{2} \rfloor} (\frac{1}{4})^{k+i} (\frac{1}{4})^i(\frac{2}{4})^{n-k-2i} \frac{n!}{(k+1)!(i)!(n-k-2i)!}

Spero di non aver preso abbagli o fatto casino con la scrittura.

[paolalewis]

Vediamo se riesco a farmi capire : supponi di avere una quantità Q', che ogni unità di tempo può diminuire o incrementare di 1 con probabilità 1/2 (NON rimane ferma). Ovviamente, la situazione del problema originale può essere vista come quella appena descritta, a patto di guardarlo ogni due unità di tempo e di dimezzare Q'.
Ora, chiamiamo $ P'_{n,k} $ la probabilità che Q' valga k al tempo n.
Di certo, poichè n+k è due volte il numero degli incrementi positivi, n e k devono avere la stessa parità, altrimenti non è possibile che Q' valga k al tempo n. Inoltre, il sistema
$ p_++p_-=n $
$ p_+-p_-=k $
ha una sola soluzione per $ p_+,p_- $:
$ p_+=\dfrac{n+k}2 $$ p_-=\dfrac{n-k}2 $
Se questi due numeri sono interi, possiamo dire che la probabilità voluta è
$ P'_{n,k}=\dfrac{1}{2^n}{n\choose\frac{n+k}2}=\dfrac{1}{2^n}{n\choose\frac{n-k}2} $
in quanto basta scegliere in quali degli n istanti di tempo fare un passo avanti (o indietro) e nei restanti siamo obbligati a farlo nell'altra direzione.

Ora, abbiamo detto che $ P_{n,k}=P'_{2n,2k} $ e dunque
$ P_{n,k}=\dfrac{1}{2^{2n}}{2n\choose n+k} $

Wow, che spiegazione dettagliata! Ammetto che all’inizio ho dovuto rileggerla due volte per seguirti, ma poi il ragionamento sul fatto che n e k debbano avere la stessa parità mi ha chiarito tutto. Mi piace come hai collegato il problema al sistema con p+ e p−, e la formula finale con le combinazioni è davvero elegante. Il passaggio da P′ a P tramite il raddoppio di n e k rende bene l’idea del processo. Gran bel lavoro, mi hai fatto capire meglio anche la logica dietro al random walk!