serie

cga · Messaggio da **cga** » 01 gen 1970, 01:33

ok ho capito ho alzato un po\' il livello, mi scuso per questo
 
 pensavo non fossero poi cosi\' difficili.
 
 Dunque e\' inutile postarne altri. E\' solo perdita di tempo!
 
 Comunque non so a questo punto se meravigliarmi oppure no del fatto che nessuno ha capito l\'utilita\' di questi esercizi (quelli che io ho postato si intende).

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Non hai alzato il livello...(credo che chiunque sia su questo forum da un po\' conosca i problemi di Jack e possa compararne la difficoltà con quella di queste serie)...solo non è gradevole postare una soluzione e sentirsi dire \"ma ce n\'è un\'altra che è più figa e più bella\", a meno che chi replica non dia almeno l\'idea di quello che intende per \"più bella\" (più facile, più breve, più elementare, più elegante..etc) e se proprio non riceve risposta, non se la prenda, ma invii lui stesso la soluzione tanto migliore...
 
 Inoltre credo che a poche settimane da Cesenatico, quasi tutti siano alle prese con geometria euclidea, teoria dei numeri, combinatoria e quant\'altro.

cga · Messaggio da **cga** » 01 gen 1970, 01:33

dire che si dimostra piu\' facilmente non credo voglia dire che la dimostrazione sia piu\' figa o piu\' bella. non ho mai detto che la mia dimostrazione e\' migliore. solo che non credo invece sia gradevole, come dici tu, sentirsi dire \"...credo che il risultato sia questo e la dimostrazione e\' come quella precedente...\" snobando cosi\' l\'esercizio.
 
 Comunque nessuno gli ha risolti e questo dice tanto...
 
 Posterei le mie dimostrazioni se almeno qualcuno ne avesse mostrato interesse. Quando alcuni esercizi sono snobati in questo modo a che serve poi inviare la soluzione. A chi interesserebbe?

MASSO · Messaggio da **MASSO** » 01 gen 1970, 01:33

be, a me interesserebbe
 se non ho postato la soluzione è perchè non sono stato abbastanza bravo
 da risolverlo e quindi sono ancor più interessato a vedere la tua dimostrazione

Dr_Palmito · Messaggio da **Dr_Palmito** » 01 gen 1970, 01:33

..aggiungendo carne al fuoco..
 Ci sono un paio di vie alternative interessanti (per i casi della vita):
 1)
 E\' possibile scrivere qualunque potenza dispari 2n+1 come differenza di 2 quadrati, in particolare per n=1 si ha:
 k^3 = (k(k+1)/2)^2 - (k(k-1)/2)^2
 indi
 sum(k^3) = sum[(k(k+1)/2)^2 - (k(k-1)/2)^2]
 e la seconda è una somma \"telescopica\" per la quale si annullano i termini adiacenti a due a due e rimangono solo il primo termine (pari a zero) e l\'ultimo, ossia:
 (n(n+1)/2)^2
 
 2)
 per ricavare la somma di una potenza qualunque
 sum(k^q)
 conoscendo quelle per gli esponenti inferiori, è sufficiente calcolare:
 sum((k+1)^(q+1))=sum(k^(q+1) + (q+1)k^q+...+1)
 e uguagliarla a
 sum(k^(q+1)) -1 + (n+1)^(q+1)
 
 a parte questo... ci vorrebbe un eq.editor per il forum..
 
 Buone cose

Dr_Palmito · Messaggio da **Dr_Palmito** » 01 gen 1970, 01:33

..aggiungendo carne al fuoco..
 Ci sono un paio di vie alternative interessanti (per i casi della vita):
 1)
 E\' possibile scrivere qualunque potenza dispari 2n+1 come differenza di 2 quadrati, in particolare per n=1 si ha:
 k^3 = (k(k+1)/2)^2 - (k(k-1)/2)^2
 indi
 sum(k^3) = sum[(k(k+1)/2)^2 - (k(k-1)/2)^2]
 e la seconda è una somma \"telescopica\" per la quale si annullano i termini adiacenti a due a due e rimangono solo il primo termine (pari a zero) e l\'ultimo, ossia:
 (n(n+1)/2)^2
 
 2)
 per ricavare la somma di una potenza qualunque
 sum(k^q)
 conoscendo quelle per gli esponenti inferiori, è sufficiente calcolare:
 sum((k+1)^(q+1))=sum(k^(q+1) + (q+1)k^q+...+1)
 e uguagliarla a
 sum(k^(q+1)) -1 + (n+1)^(q+1)
 
 a parte questo... ci vorrebbe un eq.editor per il forum..
 
 Buone cose

J4Ck202 · Messaggio da **J4Ck202** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-04-15 19:58, cga wrote:
 trovare la somma con relativa dimostrazione di
 
 sum[k=1->infinito](1/k)^2
 
 sum[k=1->infinito](1/k)^4
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Si trovano in modo abbastanza meccanico scrivendo
 la serie di fourier di x^2 e x^4.
 
 Come per zeta(2), anche per zeta(4) c\'è un approccio
 di calcolo che si basa sostanzialmente sul teorema di
 Viète, anche se l\'applicazione di quest\'ultimo a polinomi INFINITI
 non è esattamente il top del rigore... basta partire dalla funzione
 y= sin(pi*x1/4)/x1/4
 per dettagli ti rimando a <a href="http://jack202.altervista.org/mate.pdf" target="_blank" target="_new">http://jack202.altervista.org/mate.pdf</a>
 (che non è esattamente il calcolo di zeta(4) ma qualcosa di molto
 simile...)

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Non so se puo\' interessare ma mi sono ricordato
 che, a proposito di somme
 di potenze, ho messo anch\'io un post (che si
 trova alla pagine 6 col nome di \"Successioni\")
 in cui si tratteggia un metodo generale
 che fa uso ,tra l\'altro, dei numeri di Bernoulli.

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

I quesiti di cga possono trovare una soluzione generale nei polinomi
 di Bernoulli.Essi sono definiti cosi\':
 sviluppiamo in serie di McLaurin la f(t)=te^(xt)/(e^t-1) e si ha:
 f(t)=1+B1(x)*t+B2(x)/2!*t^2+B3(x)/3!*t^3+B4(x)/4!*t^4+.......
 Le Bi(x) sono i polinomi di Bernoulli;con qualche calcolo (lungo ma
 non eccessivamente difficile) si trova che per esempio:
 Bo(x)=1,B1(x)=x-1/2,B2(x)=x^2-x+1/6,
 B3(x)=x^3-3/2*x^2+1/2*x,B4(x)=x^4-2x^3+x^2-1/30......
 Osserviamo ora che (per i>1) Bi(0)=Bi(1) e per questo eseguiamo
 lo sviluppo in serie di Fourier in [0,1] (come del resto gia\' indicato da
 J4Ck202 ,sia pure per funzioni diverse) di B2(x) ed avremo
 (ometto i calcoli):
 B2(x)=1/Pi^2*Sum[k-->1...+inf]cos^2(2kPix)/k^2
 Da qui ,ponendo x=0 ed x=1/4, risulta:
 A)Pi^2/6=Sum[k-->1...+inf]1/k^2
 B)Pi^2/12=Sum[k-->1...+inf](-1)^(k+1)/k^2
 Analogamente,eseguendo lo sviluppo di Fourier di B3(x),avremo:
 B3(x)=3/(2*Pi^3)Sum[k-->1..+inf]sin(2kPix)/k^3
 e ponendo x=1/4 si ottiene:
 C)Pi^3/32=Sum[k-->1...+inf](-1)^(k+1)/(2k-1)^3
 Infine ,operando su B4(x),risulta:
 B4(x)=-3/Pi^4*Sum[k-->1..+inf]cos(2kPix)/k^4
 Ponendo x=0,x=1/2 si ha:
 D)Pi^4/90=Sum[k-->1..+inf]*1/k^4
 E)7*Pi^4/720=Sum[k-->1..+inf](-1)^(k+1)/k^4
 Per completezza riporto gli sviluppi di Bi(x)
 nel caso generale:
 B(2n-1)(x)=2*(-1)^n*(2n-1)!*Sum[k-->1..+inf]sin(2kPix)/(2kPi)^(2n-1)
 B(2n)(x)=2*(-1)^(n-1)*(2n)!*Sum[k-->1..+inf]cos(2kPix)/(2kPi)^(2n)
 da cui ,particolarizzando la x in maniera opportuna,e\' possibile ricavare
 le precedenti relazione e tutte quelle che si vogliono.
 
 
 
 
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 21-06-2004 22:03 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 22-06-2004 13:20 ]

cga · Messaggio da **cga** » 01 gen 1970, 01:33

Si karl, e\' proprio ai numeri di Bernoulli a cui facevo riferimento quando ho detto che esiste una dimostrazione piu\' diretta di questo tipo di problemi. Ho dato solo un veloce sguardo alla tua dimostrazione che pare essere uguale a quella che ho dato io quando gli ho risolti.
 Adesso non gli ho sotto mano ma se qualcuno e\' interessato postero\' degli altri.
 ciao.

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

tutto ciò sembra molto interessante..
 
 ma qualcuno può dire qualcosa di più su queste serie di Fourier?? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 tipo come si ricava la serie di Fourier di una data funzione, in generale

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

La teoria delle serie di Fourier e\' oggetto di studio
 nei corsi universitari ed e\' abbastanza complessa.
 Tuttavia alcuni risultati fondamentali possono
 essere appresi anche con minime conoscenze di
 Analisi.
 Per maggiori dettagli si puo\' consultare il sito:
 http://www.to.infn.it/~frau/m3/node3.html
 ma sulla rete ve ne sono moltissimi altri.