Fibonacci Revenge

[jack202]

Se è
<BR>
<BR>F[1]=1
<BR>F[2]=1
<BR>F[n+1]=F[n]+F[n-1]
<BR>
<BR>quanto vale
<BR>
<BR>sum[j=1..inf] 1/F[j]
<BR>
<BR>?
<BR>

[FrancescoVeneziano]

Questo problema mi sta uccidendo!
<BR>E\' la terza volta almeno che lo proponi. Secondo me il risultato è un numero reale non esprimibile in forma chiusa.
<BR>CaO (ossido di calcio)

[jack202]

Non credo, ripongo fiducia nel calcolo
<BR>infinitesimale... per gli avventori
<BR>proclamiamo che il problema è affine
<BR>al calcolo di
<BR>
<BR>sum[j=1..inf] 1/senh(j)
<BR>
<BR>dove senh è la funzione seno iperbolico.
<BR>

[lordgauss]

Ciao
<BR>
<BR>Svelo solo la conclusione del mistero... sum[j=0..inf] 1/F(j) = 4 - phi
<BR>
<BR>dove phi è il ben noto rapporto aureo, soluzione positiva dell\'equazione x² = x + 1; inoltre (utile per la dimostrazione) F(j)/F(j-1) --> phi per j --> oo.
<BR>
<BR>Goodbye

[jack202]

Lord sei proprio sicuro? A me sembra un
<BR>tantino sottostimato... puoi postare l\'intero
<BR>ragionamento ?
<BR>
<BR>

[jack202]

Sempre per gli avventori :
<BR><-------------->
<BR>uses crt;
<BR>var s,p:real;
<BR> i:integer;
<BR>
<BR>begin
<BR>clrscr;
<BR>s:=0;p:=ln((1+sqrt(5))/2);
<BR>for i:=1 to 76 do
<BR>s:=s+(sqrt(5)/(exp(p*i)-cos(pi*i)*exp(-p*i)));
<BR>writeln(s:1:10);
<BR>readln;
<BR>end.
<BR><----------->
<BR>
<BR>Le prime cifre sono
<BR>3.359886662
<BR>

[lordgauss]

Sì, hai ragione... se sono i reciproci...
<BR>
<BR>sum[j=0..inf] 1/F(j) = 4 - 1/phi
<BR>
<BR>Questa credo che sia quella giusta. Ciao

[DD]

Tre confutazioni del (troppo) bel risultato di lordgauss:
<BR>1. Confutazione da Matematico: il risultato è così bellino che se fosse anche vero sarebbe conosciuto.
<BR>2. Confutazione da Informatico: a quanto pare, mettendo il numero trovato da jack dentro a qualche programma per calcolare robe toste, quello dice solo 1/Fibonacci(n), il che fa pensare che non esista nulla di più invitante (e dà anche ragione a Francesco Veneziano).
<BR>3. Confutazione da Fisico: 4-1/1.618=circa3.382<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DD il 2002-09-18 18:15 ]</font>

[FrancescoVeneziano]

Un salto alla voce \"Fibonacci numbers\" del \"World of Mathematics\" e scopro che SOMMA1/F(2^n)=4-phi, quindi il risultato di Lordgauss si riferisce ad un\'altra sommatoria; la stessa pagina (che pur riporta centinaia di identità con i numeri di Fibonacci) non accenna alla nostra somma, una ragione in più per pensare che non sia esprimibile in forma chiusa.
<BR>CaO (ossido di calcio)

[lordgauss]

Agh... in effetti la formula era sbagliata, però c\'è lo stesso un risultato teorico apprezzabile. Un upgrade delle leggi di Murphy:
<BR>1) LEGGE DELLE FONTI: stai sicuro che se prendi un teorema da una fonte attendibile, il risultato che citi è l\'unico errore presente in essa.
<BR>
<BR>Nel mio caso la fonte è l\'Engel
<BR>
<BR>2) LEGGE DELL\'APPARENZA: quello che ti appare giusto, è sbagliato. Quello che ti pare plausibile, è una cazzata.
<BR>
<BR>3) LEGGE DEI DECIMALI: il numero che tu controlli fino all\'n-esimo decimale inizia a negare la tua congettura all\'n+1-esimo decimale.
<BR>
<BR>Ok ok, nel mio caso n=1, ho peccato d\'accidia. Ma l\'accidia è una cosa da coltivare! Direbbe Caracciolo, come la m********a!
<BR>
<BR>Ciao e scusate per l\'errore

[DD]

Dov\'è che ha sbagliato l\'infallibile Mr Engel?
<BR>Quanto a Caracciolo, non so se le melanzane crescano granché bene a Lecco...