funzionale facilina dell\'Engel

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-23 10:47, fph wrote:
 Find all functions $f$ which are defined for all $x \\in \\R$ and, for any $x$, $y$, satisfy
 $$
 xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y)
 $$
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Bello come sottile invito ad aggiungere un compilatore latex al sito! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 Fatevi un giretto in <A HREF="http://www.mathlinks.ro" TARGET="_blank">MATHLINKS</A> per capire cosa intendo.

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-01 17:45, fph wrote:
 
 Comunque, meglio ancora: sapendo che
 x/fx - x=-(y/fy - y)
 fissiamo x=y e ricaviamo che x/fx-x=-(x/fx-x) quindi x/fx-x=0 per ogni x tc fx=/=0, e percio\' fx=0 oppure fx=1 per ogni x=/=0
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Federico, mi pare che ci sia lo stesso \"vizio\" che tu hai rilevato nel mio precedente messaggio.

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-02 14:37, sprmnt21 wrote:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-01 17:45, fph wrote:
 
 Comunque, meglio ancora: sapendo che
 x/fx - x=-(y/fy - y)
 fissiamo x=y e ricaviamo che x/fx-x=-(x/fx-x) quindi x/fx-x=0 per ogni x tc fx=/=0, e percio\' fx=0 oppure fx=1 per ogni x=/=0
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Federico, mi pare che ci sia lo stesso \"vizio\" che tu hai rilevato nel mio precedente messaggio.
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 ok, forse non mi sono espresso al meglio... da questo passaggio si conclude che \"f assume solo i valori 0 e 1\". Il passaggio successivo (quello con i tre casi) serve a dimostrare che o f==1 ovunque o f==0 ovunque.
 fila cosi\'?
 
 ciao,
 --f

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

[per errore il mio browser, o gli alieni, hanno postato tre volte il msg precedente... cancello] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: fph il 02-07-2004 17:07 ]

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

[ Questo Messaggio è stato Modificato da: fph il 02-07-2004 17:06 ]

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 
 ok, forse non mi sono espresso al meglio... da questo passaggio si conclude che \"f assume solo i valori 0 e 1\". Il passaggio successivo (quello con i tre casi) serve a dimostrare che o f==1 ovunque o f==0 ovunque.
 fila cosi\'?
 
 ciao,
 --f
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 
 La funzione seguente (ma e\' solo uno dei tanti esempi) fa parte dell\'insieme soluzione che tu trovi?
 
 
 f(x)=0 per x=/= -r,r
 
 f(x)=1 per x=-r,r
 
 
 
 ---
 ma non e\' soluzione mi pare ...
 
 discussione chiusa!
 
 
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 02-07-2004 15:59 ]

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-02 15:34, sprmnt21 wrote:
 La funzione seguente (ma e\' solo uno dei tanti esempi) fa parte dell\'insieme soluzione che tu trovi?
 
 f(x)=0 per x=/= -r,r
 
 f(x)=1 per x=-r,r
 
 ma non e\' soluzione mi pare ...
 
 discussione chiusa!
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 ?... non fa parte dell\'insieme soluzione che trovo. Forse non ci stiamo capendo...
 cmq, la mia soluzione e\' (riassuntino):
 step 1: dimostro che img f e\' contenuta in (0,1)
 step 2: dimostro che per x=/=0 f(x) dev\'essere costante
 step 3: trovo quali valori di f(0) estendono la funzione in modo accettabile.
 Trovo tre soluzioni: f==0, f==1, e altre non continue:
 f(x)=1 per x=/=0 e f(0) a piacere
 
 c\'e\' qualche baco?
 --federico

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

secondo me no. non c\'e\' alcun baco. non avevo letto (con attenzione) il passo in cui provi che la f(.) non puo\' essere 0 da qualche parte e 1 nel resto a parte il punto x=0.
 
 non solo. messa cosi, non c\'e\' nemmeno il problema che mi ponevo di come riusci re a verificare tutte le soluzioni per essere sicuri di non aver messo qualcoso di troppo.
 
 ma la soluzione dell\'Engel e\' quindi sbagliata?

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-03 15:17, sprmnt21 wrote:
 ma la soluzione dell\'Engel e\' quindi sbagliata?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Secondo me si\'. Il buon Engel ammette a competere tutte le funzioni pari a valori in {0,1}, ma, come hai detto tu stesso, una cosa del tipo f(x)=0 per x=/=-r, r e fr=f(-r)=1 non soddisfa l\'e.f.
 
 ciao,
 --federico [ Questo Messaggio è stato Modificato da: fph il 03-07-2004 19:34 ]