Prodotto

Franchifis · Messaggio da **Franchifis** » 01 gen 1970, 01:33

Si ha la seguente serie per n>2:
 
 cos(pi/3)
 cos(pi/4)
 cos(pi/5)
 ...
 cos(pi/n)
 
 Calcolare il prodotto di tutti i termini della serie per n che tende a +inf.
 In effetti e\' il prodotto di infiniti numeri <1 ma io ho la dimostrazione che non fa 0 e se volete la posto (anche se e\' un po\' lunga). Non mi convince affatto!

gippo · Messaggio da **gippo** » 01 gen 1970, 01:33

Il fatto che tutti i fattori siano < 1 non implica affatto che il prodotto sia zero. Di sicuro conoscerai il limite per n->inf di (1 - 1/n)^n, che fa 1/e.

Franchifis · Messaggio da **Franchifis** » 01 gen 1970, 01:33

Mhm, non ci avevo pensato. In effetti hai proprio ragione, che cose strane che si scoprono con l\'analisi! (io ho appena cominciato a studiare i limiti percio\' sono rimasto tanto sorpreso)

gippo · Messaggio da **gippo** » 01 gen 1970, 01:33

E\' lo stesso concetto del paradosso di Achille: se sommi inifiniti numeri positivi che tendono a zero, non é detto che il risultato sia +inf. Cosi` se moltiplichi infiniti numeri positivi che tendono a 1(+), non é detto che ottieni +inf e se tendono a 1(-) non é detto che ottieni zero.
 Spero di esserti stato di aiuto.

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

Un esempio ancora migliore di quello di gippo (anche se meno elementare) è la formula di Wallis \"invertita\". Qui infatti i termini della produttoria non variano tra i prodotti parziali:
 
 Prod[1-1/(4n^2)] = 2/Pi.
 (con n che va da 1 a +inf.)

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Se proprio vogliamo citarne altre <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> abbiamo che:
 
 prod[1-(1/p)^n]*=1/zeta(n)
 
 e per n>1 zeta(n) ha un valore finito.
 
 *p vuol dire primo