Problema
Provare che per ogni $ n $, intero positivo, l'espressione
$ \displaystyle \frac{3^{2^n}-2^{n+2}-1}{2^{n+3}} $ risulta essere intera
Vi presento un altro intero, siori e siore
Vi presento un altro intero, siori e siore
A qualcuno ricorderà qualcosa
Problema
Provare che per ogni $ n $, intero positivo, l'espressione
$ \displaystyle \frac{3^{2^n}-2^{n+2}-1}{2^{n+3}} $ risulta essere intera
Problema
Provare che per ogni $ n $, intero positivo, l'espressione
$ \displaystyle \frac{3^{2^n}-2^{n+2}-1}{2^{n+3}} $ risulta essere intera
Molto carino,dovrei averlo fatto
Proviamo per induzione:
per n=1 viene $ \displaystyle \frac{9-8-1}{16} = 0 $,e funziona.
Per il passo induttivo,per passare da n a n+1,si deve aggiungere una quantità pari a $ \displaystyle \frac{3^{2^{n+1}}-2^{n+3}-1}{2^{n+4}} - \frac{3^{2^n} - 2^{n+2}-1}{2^{n+3}} $,che risulta essere $ \displaystyle \frac{3^{2^{n+1}}-2*3^2^n - 1}{2^{n+4}} $,uguale a $ \displaystyle \frac{(3^{2^n})^2 - 2*3^2^n - 1}{2^{n+4}} $,quindi a $ \displaystyle \frac{(3^{2^n} - 1)^2}{2^{n+4}} $.Siccome per ipotesi $ \displaystyle 3^{2^n} - 1 $ divideva $ \displaystyle 2^{n+2} $,il suo quadrato dividerà $ \displaystyle 2^{n+4} $,e quindi si ha la tesi,poichè nel passo induttivo viene aggiunto un intero a un altro intero.
É giusta??
Proviamo per induzione:
per n=1 viene $ \displaystyle \frac{9-8-1}{16} = 0 $,e funziona.
Per il passo induttivo,per passare da n a n+1,si deve aggiungere una quantità pari a $ \displaystyle \frac{3^{2^{n+1}}-2^{n+3}-1}{2^{n+4}} - \frac{3^{2^n} - 2^{n+2}-1}{2^{n+3}} $,che risulta essere $ \displaystyle \frac{3^{2^{n+1}}-2*3^2^n - 1}{2^{n+4}} $,uguale a $ \displaystyle \frac{(3^{2^n})^2 - 2*3^2^n - 1}{2^{n+4}} $,quindi a $ \displaystyle \frac{(3^{2^n} - 1)^2}{2^{n+4}} $.Siccome per ipotesi $ \displaystyle 3^{2^n} - 1 $ divideva $ \displaystyle 2^{n+2} $,il suo quadrato dividerà $ \displaystyle 2^{n+4} $,e quindi si ha la tesi,poichè nel passo induttivo viene aggiunto un intero a un altro intero.
É giusta??
Ultima modifica di thematrix il 10 mag 2005, 20:27, modificato 3 volte in totale.
Sunshine or rain, it's all the same, life isn't gray
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
Spoiler perfetto
Ok, matrice, tutto perfetto, certo, un correttore inflessibile come Euler ti farebbe un milione di pare, ma in fondo è meglio dare solo le tracce guida, uno non si diverte a leggere una dimostrazione "troppo perfetta"
Premessa: ho letto la tua soluzione con sonnecchiante e svogliata attenzione!thematrix ha scritto:Siccome per ipotesi $ \displaystyle 3^{2^n} - 1 $ divideva $ \displaystyle 2^{n+2} $, il suo quadrato dividerà $ \displaystyle 2^{n+4} $ [...]
Osservazione: è impensabile che $ \displaystyle 3^{2^n} - 1 $ possa dividere $ \displaystyle 2^{n+2} $, visto che definitivamente $ \displaystyle 3^{2^n} - 1 $ $ > 2^{n+2} $.
Conclusione: come correttore, Bollazzo è persino peggio che come solutore...
Re: Vi presento un altro intero, siori e siore
Per ogni $a>b>0$ interi dispari e $m>0$ intero pari vale $\upsilon_2(a^m-b^m)=\upsilon_2(a^2-b^2)+\upsilon_2(m)-1$.
posto $a=3, b=1, m=2^n$ abbiamo direttamente la tesi.[]
posto $a=3, b=1, m=2^n$ abbiamo direttamente la tesi.[]
The only goal of science is the honor of the human spirit.