trovare
$ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^n k^k}{n^n} $.
spulciando da teoria dei numeri...
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Ma siamo sicuri che sia e? Per me fa 1...
Ultima modifica di moebius il 03 ago 2005, 15:25, modificato 1 volta in totale.
Fondatore: [url=http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/viewtopic.php?t=8899]Associazione non dimenticatevi dei nanetti![/url]
Membro: Club Nostalgici
Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
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Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
no, affatto...
uffi, io volevo dire "trovare", non volevo dire "provare che il limite è $ e $ o confutarlo... sono due cose diverse!
in ogni caso.. secondo me il limite è un altro, e dovrei averne una prova... onde evitare figuracce, lascio a voi i tentativi..
(anche perché proporre e risolvere un problema sa molto di autoproclamazione o autoesaltazione o cose simili...)
uffi, io volevo dire "trovare", non volevo dire "provare che il limite è $ e $ o confutarlo... sono due cose diverse!
in ogni caso.. secondo me il limite è un altro, e dovrei averne una prova... onde evitare figuracce, lascio a voi i tentativi..
(anche perché proporre e risolvere un problema sa molto di autoproclamazione o autoesaltazione o cose simili...)
in #olimpiadi era sorta come
$ \frac{(n+1)^n}{\sum_{j=1}^{n}j^j}\to e \iff \frac{(n)^n}{\sum_{j=1}^{n}j^j}\to 1 \iff \frac{(n+k)^n}{\sum_{j=1}^{n}j^j}\to e^k $
j'ai regrette
EDIT: Sulla enciclopedia delle sequenze intere "a(n+1)/a(n) > e*n" dove a(n) è la nostra somma
PS: $ \frac{n^n}{\sum_{j=1}^{n}j^j}\to 1 \iff \frac{\sum_{j=1}^{n}j^j}{n^n}\to 1 \iff \frac{\sum_{j=1}^{n-1}j^j}{n^n}\to 0 $$ \iff \frac{n^n}{\sum_{j=1}^{n-1}j^j}\to \infty $
vero perché
$ n^{n-1}=((n-1)+1)^{n-1}>\sum_{j=1}^{n-1}(n-1)^j>\sum_{j=1}^{n-1}j^j $
ovvero
$ n\frac{n^{n-1}}{\sum_{j=1}^{n-1}j^j}>n\to \infty $
$ \frac{(n+1)^n}{\sum_{j=1}^{n}j^j}\to e \iff \frac{(n)^n}{\sum_{j=1}^{n}j^j}\to 1 \iff \frac{(n+k)^n}{\sum_{j=1}^{n}j^j}\to e^k $
j'ai regrette
EDIT: Sulla enciclopedia delle sequenze intere "a(n+1)/a(n) > e*n" dove a(n) è la nostra somma
PS: $ \frac{n^n}{\sum_{j=1}^{n}j^j}\to 1 \iff \frac{\sum_{j=1}^{n}j^j}{n^n}\to 1 \iff \frac{\sum_{j=1}^{n-1}j^j}{n^n}\to 0 $$ \iff \frac{n^n}{\sum_{j=1}^{n-1}j^j}\to \infty $
vero perché
$ n^{n-1}=((n-1)+1)^{n-1}>\sum_{j=1}^{n-1}(n-1)^j>\sum_{j=1}^{n-1}j^j $
ovvero
$ n\frac{n^{n-1}}{\sum_{j=1}^{n-1}j^j}>n\to \infty $
[tex]\Im^\heartsuit_\TeX[/tex]
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Re: spulciando da teoria dei numeri...
Allora, dimostriamo per induzione che $ \displaystyle \sum_{k=1}^n k^k < (n+1)^{n+1} $.
Per $ n=1 $ viene $ 1<4 $, mentre per $ n>1 $ viene
$ \displaystyle \sum_{k=1}^n k^k = \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k^k+n^n < n^n+n^n = 2n^n < 2(n+1)^n < (n+1)^{n+1} $.
Ora dimostriamo che $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k^k}{n^n}=0 $.
$ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k^k}{n^n} = \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n-2} k^k + (n-1)^{n-1}}{n^n} \leq \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac {2(n-1)^{n-1}}{n^n} = $
$ = \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{2}{n}\cdot \left( \frac{n-1}{n}\right)^{n-1} = \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{2}{e \cdot n} = 0 $
Ma siccome la successione ha termini tutti positivi, il limite è proprio $ 0 $.
Per concludere,
$ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^n k^k}{n^n}= \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k^k+ n^n}{n^n}= 1 $
Scusate l'OT.
Per $ n=1 $ viene $ 1<4 $, mentre per $ n>1 $ viene
$ \displaystyle \sum_{k=1}^n k^k = \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k^k+n^n < n^n+n^n = 2n^n < 2(n+1)^n < (n+1)^{n+1} $.
Ora dimostriamo che $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k^k}{n^n}=0 $.
$ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k^k}{n^n} = \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n-2} k^k + (n-1)^{n-1}}{n^n} \leq \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac {2(n-1)^{n-1}}{n^n} = $
$ = \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{2}{n}\cdot \left( \frac{n-1}{n}\right)^{n-1} = \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{2}{e \cdot n} = 0 $
Ma siccome la successione ha termini tutti positivi, il limite è proprio $ 0 $.
Per concludere,
$ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^n k^k}{n^n}= \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k^k+ n^n}{n^n}= 1 $
Scusate l'OT.