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Il problema che segue è ripescato da un'altra sezione del forum (click), dove - credo! - non avrebbe avuto molto senso discuterne lo svolgimento! Ho scelto di riproporlo in "Matematica non elementare", perché nel risolverlo faccio impiego degli integrali, che rendono - ahime'...
- inammissibile (u-uuuuuh...) l'idea di sdoganarlo - come invece avrei voluto! - dalle parti del forum di TdN.
ma_go ha scritto:Considera la successione $ a_0 = 1000! $, tale che $ a_{n+1} $ sia la somma delle cifre [NdH: decimali] di $ a_n $. Tale successione si stabilizza? se sì, a che numero?
Sia $ s_{10}(\cdot): \mathbb{N}_0 \mapsto \mathbb{N} $ la funzione che ad ogni intero $ n > 0 $ fa corrispondere la somma delle cifre della sua rappresentazione posizionale in base $ 10 $. Se $ n $ è un naturale $ > 1 $, stanti l'identità di Legendre-De Polignac (click) e un paio di arcinote proprietà dei logaritmi, peraltro suggerite da ma_go, Marco e Boll dalle parti del glossario (click): $ \displaystyle s_{10}(n!) \leq 9 \cdot \left(\lfloor \log_{10}(n!)\rfloor + 1 - \sum_{t=1}^{+\infty} \left\lfloor \frac{n}{5^t}\right\rfloor \right) = $ $ \displaystyle 9 \cdot \left(\left\lfloor \sum_{k=2}^n \log_{10}k\left\rfloor + 1 - \sum_{t=1}^{+\infty} \left\lfloor \frac{n}{5^t}\right\rfloor \right) $.enomis_costa ha scritto:Rilancio la successione di Ma_go: quanto vale a_3 e (bonus question) determinare un'insieme di 4 elementi in cui debba essere compreso a_2 (se ci riuscite determinatelo... io non ci sono riuscito ma ho trovato proprio un bell'insiemino).
Senonché $ \displaystyle\sum_{k=2}^n \log_{10}k \leq \int_2^{n+1} \log_{10}x\, dx = (n+1) \log_{10}(n+1) $ $ - (n-1)\log_{10}e - 2\log_{10} 2 $, e perciò $ s_{10}(n!) \leq 9 \cdot $ $ \displaystyle \left(\lfloor (n+1) \log_{10}(n+1) - (n-1)\log_{10}e - 2\log_{10} 2\rfloor + 1 - \sum_{t=1}^{+\infty} \left\lfloor \frac{n}{5^t}\right\rfloor \right) $. Da qui (fatti due conti): $ a_1 = s_{10}((10^3)!) \leq 20880 $. E allora $ a_2 \leq 1 + 9 + 9 + 9 + 9 = 37 $, poiché, quand'anche $ a_1 $ avesse cinque cifre decimali, la somma delle due più significative sarebbe comunque $ \leq 10 $. Dunque a forza $ a_3 = 9 $, siccome $ s_{10}(a_2) \leq 11 $ e $ a_n \to 9 $, per $ n \to +\infty $, come già è stato osservato altrove (click). Ne segue banalmente $ a_2 \in \{9, 18, 27, 36\} $, e questo è quanto...
EDIT: riveduto e corretto su molteplice segnalazione di Marco.
Sia come sia, mi pare una buona soluzione, certo adeguata al problema specificamente proposto.
Ma d'altra parte era sfuggito pure a me... 
Ebbene, nel contare gli zeri in coda al fattoriale di $ 1000 $, ho usato l'identità di Legendre-De Polignac per valutare il massimo esponente intero $ v $ tale che $ 2^v \mid 1000! $, quando invece avrei dovuto riferire lo stesso calcolo non certo al $ 2 $, bensì al $ 5 $... Vabbè, correggo subito! La sostanza delle conclusioni, fortunamente, non cambia.
Salvo altri errori, siamo ancora attestati sui valori di prima...