Integrali & co.

[AleX_ZeTa]

Dimostrare che se:

$ \displaystyle \left(\int_0^1 f^2 \right) + \left(\int_0^1 f'^2 \right) \leq 1 $
con $ \displaystile f: [0,1] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ derivabile in $ [0,1] $

allora

$ \displaystyle \max |f| \leq 3 $

edit x evariste
(un titolo significativo non mi viene in mente...)

[MindFlyer]

2 LaTeX tips (così faccio la figura di uno che sa il LaTeX).
- I simboli del dollaro $, che si usano per entrare in modo matematico, qui sono superflui.
- Per scrivere $ \max $ si usa il codice

Codice: Seleziona tutto

[tex]\max[/tex]

altrimenti si confonde con il prodotto $ m\cdot a\cdot x $.
Lo stesso dicasi per $ \min $, $ \log $, $ \sin $, etc.

[EvaristeG]

Per fortuna che una delle regole proposte da fph era di dare titoli significativi ... se io chiamassi tutti i miei post "triangoli & co." o "cerchi & co." Mind mi sbranerebbe ... su, Alex, sii più specifico la prossima volta : Corso - Docente - Giorno, Libro - Autore - Pagina, o cose simili ... su, da bravo.

Inoltre, già che ci sono, quella funzione cos'è ? una funzione dai reali nei reali, dai complessi nei complessi, dagli ordinali negli ordinali iniziali ? è di clase C-infinito, di classe C-2, C-1 o solo assolutamente continua ? il massimo è da intendersi sull'intervallo di integrazione ? insomma, un po' di precisione non guasta...

[HiTLeuLeR]

Ecco, fortuna che c'è Sam... Ooops! Intendevo dire "Pic", scusate il total OT...

[elianto84]

Riporto in auge questo problema che mi sembra molto interessante.
Ammetto di non essere riuscito a cavar fuori molto con metodi standard,
a parte la banale

$ a^2 + b^2 \geq 2ab \quad \rightarrow \quad f(1)^2 - f(0)^2 \leq 1 $

Tuttavia il problema "duale" sembra molto più abbordabile.
Discretizziamo l'intervallo [0,1] ed utilizziamo le stime classiche

$ \displaystyle a_j=f(\frac{j}{n}) \quad 0 \leq j \leq n $
$ \displaystyle f^\prime(\frac{j}{n})=n(a_j-a_{j-1}) $
$ \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\, dx \approx \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n a_j $
$ \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)^2 + f^\prime(x)^2\, dx \approx $
$ \displaystyle \approx (\frac{1}{n}+2n)\sum_{j=0}^n a_j^2 - 2n\sum_{j=0}^{n-1}a_j a_{j-1} - n(a_0^2 + a_n^2) = g(a_0,\dots,a_n) $

Prefiggiamoci lo scopo di studiare il max/min di g sottoposta ad un vincolo del tipo
$ a_k=K_0 $

L'uso spietato dei moltiplicatori di Lagrange porta alle seguenti conclusioni:
$ \displaystyle \frac{\partial}{\partial a_{j \ne k}}g = 0 \quad \frac{\partial}{\partial a_{k}}g = \lambda $
$ \displaystyle a_1=\frac{n^2+1}{n^2}a_0 $
$ \displaystyle a_n=\frac{n^2}{n^2 + 1} a_{n-1} $
H1.:$ (2n+\frac{2}{n})a_k = 2n(a_{k-1}+a_{k+1}) + \lambda $
H2.:$ (2n+\frac{2}{n})a_i = 2n(a_{i-1}+a_{i+1}) \quad i \ne 0,k,n $

e le ricorrenze H1 ed H2 sembrerebbero piuttosto facili da sciogliere...
Anche senza immani fatiche algebriche, è abbastanza evidente che
facendo tendere n verso l'infinito si ottiene

$ 2 a_i = a_{i-1} + a_{i+1} $

che ci comunica in modo piuttosto evidente che la funzione cercata
è una retta (in realtà non sono stato molto formale in questa
approssimazione "discreta" del metodo delle variazioni, ad essere pignoli
andrebbero introdotti il resto dell'approssimazione dell'integrale, tramite
formula di Eulero-McLaurin, e l'errore commesso nella stima puntuale
della derivata: cose che lascio ai volenterosi, io confido che funzioni
ugualmente).

Ora, data l'arbitrarietà del k, e dato che le funzioni che massimizzano
o minimizzano l'integrale sono comunque rette, per il principio di dualità
possiamo limitarci a studiare il problema primale limitatamente alle rette.

$ f(x)=ax+b $

Possiamo supporre che a sia positivo, dato che scambiare f(x) con -f(x)
non altera l'integrale. A questo punto il massimo sarà sicuramente
raggiunto nel punto di ascissa 1, e varrà a+b. Dobbiamo quindi risolvere
il problema

$ \max (a+b) $

sottoposto ai vincoli

$ \frac{4}{3}a^2+ab+b^2=1 $
$ a \geq 0 $

nuovamente Lagrange ci dice che

$ 1 = \lambda(\frac{8}{3}a + b) $
$ 1 = \lambda(a+2b) $

segue 3b = 5a, da cui

$ a=\frac{3}{2\sqrt{13}} \quad b=\frac{5}{2\sqrt{13}} $
$ \max = \frac{4}{\sqrt{13}} $

Ed ora non capisco dove salti fuori il 3 ma sono contento lo stesso.

[EvaristeG]

Tutto ciò va bene per funzioni C1, ma l'ipotesi è che queste fossero solo derivabili in [0,1] e non derivabili con continuità...

[elianto84]

E perché mai? La g è un polinomio nelle variabili a (per cui, C-infinito)
e le stime (sia quella puntuale della derivata che quella per rettangoli
dell'integrale) funzionano indipendentemente dal fatto che la f sia C-1
o solo derivabile. Al più possono accadere drammi algebrici con i resti,
ma, come già detto, ho fede nei volenterosi!

[EvaristeG]

Infatti sono i resti che scazzano se la f non è C1 ... la derivata può fare cose brutte ... ma comunque, non vedo la necessità di tutta questa bagarre ...
mi pareva ci fossero metodi più semplici per venire a capo di questo problema...

[elianto84]

Va bene Sam, metterò mano ai resti, ma non stasera.
(Confido che, limitatamente a questo problema, la derivata non possa
fare cose tanto perfide, dato che non ne trarrebbe nessuna convenienza,
id est non mi pare sensato che una soluzione del primale possa essere
anche solo vagamente oscillante, così neppure la derivata)

Sul perché del metodo delle variazioni (duale, per giunta)...
Beh, sai che ho profonda fiducia nella forza bruta.