Non so come procedere...
FUNZIONI
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stellacometa2003
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FUNZIONI
Ragazzi mi aiutate a studiare questa funzione: [e^(x+1)]/(x+2)
Non so come procedere...
Non so come procedere...
Beh ... in quanto al procedere ... dovresti fare le solite cose :
1) Dominio di definizione
2) Limiti agli estremi del dominio di definizione (asintoti etc etc)
3) Studio del segno e degli zeri
4) Studio del segno della derivata prima (massimi minimi flessi crescenza decrescenza)
5) Eventuale studio del segno della derivata seconda (flessi, concavità)
Dove hai problemi?
1) Dominio di definizione
2) Limiti agli estremi del dominio di definizione (asintoti etc etc)
3) Studio del segno e degli zeri
4) Studio del segno della derivata prima (massimi minimi flessi crescenza decrescenza)
5) Eventuale studio del segno della derivata seconda (flessi, concavità)
Dove hai problemi?
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stellacometa2003
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Uhm ... la derivata prima è $ \displaystyle{(x+1)\frac{e^{x+1}}{(x+2)^2}} $
l'esponenziale e il quadrato sono sempre positivi (tranne che in x=-2, dove il denominatore si annulla e la funzione non è definita), quindi il segno della derivata prima è lo stesso di x+1 :
- maggiore di 0 se x>-1
- minore di 0 se x<-1
- zero se x=-1
Quindi la funzione è decrescente per x<-1, ha un minimo in x=-1 e poi cresce per x>-1.
Qual è il problema?
l'esponenziale e il quadrato sono sempre positivi (tranne che in x=-2, dove il denominatore si annulla e la funzione non è definita), quindi il segno della derivata prima è lo stesso di x+1 :
- maggiore di 0 se x>-1
- minore di 0 se x<-1
- zero se x=-1
Quindi la funzione è decrescente per x<-1, ha un minimo in x=-1 e poi cresce per x>-1.
Qual è il problema?
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stellacometa2003
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stellacometa2003
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$ f(x)=\frac{\log(x)+1}{\log(x)-2} $.
L'insieme di definizione di f si calcola imponendo l'argomento del logaritmo strettamente positivo, quindi $ x>0 $, e il denominatore diverso da 0, quindi $ \log(x)-2 \neq 0 \Leftrightarrow \log(x) \neq 2 \Leftrightarrow x \neq e^2 $. Quindi l'insieme di definizione è $ ]0,e^2[\ \cup\ ]e^2,+\infty[ $.
$ f'(x)=\frac{\frac{1}{x}(\log(x)-2)-\frac{1}{x}(log(x)+1)}{(\log(x)-2)^2} = -\frac{3}{x(\log(x)-2)^2} $
Poiché $ \log(x) \neq 2 $, il segno della derivata corrisponde al segno di $ -\frac{1}{x} $, quindi la funzione è strettamente decrescente su tutto il suo insieme di definizione.
$ f''(x)=-3(\frac{-((\log(x)-2)^2+2(log(x)-2))}{x^2(\log(x)-2)^2}) \geq 0 $ $ \Leftrightarrow (\log(x)-2)^2+2(log(x)-2) \geq 0\ \Leftrightarrow\ \log(x)(\log(x)-2) \geq 0 $, da cui $ \log(x) \leq 0 $ oppure $ \log(x) \geq 2 $, cioè $ 0<x \leq 1 $ oppure $ x>e^2 $.
Quindi tra 0 e 1 la funzione è convessa, in 1 presenta un flesso a tangente obliqua di equazione $ Y-f(1)=f'(1)(X-1) $, cioè $ Y+\frac{1}{2}=-\frac{3}{4}(X-1) $, tra 1 e $ e^2 $ la funzione è concava, e per $ x>e^2 $ è convessa.
L'insieme di definizione di f si calcola imponendo l'argomento del logaritmo strettamente positivo, quindi $ x>0 $, e il denominatore diverso da 0, quindi $ \log(x)-2 \neq 0 \Leftrightarrow \log(x) \neq 2 \Leftrightarrow x \neq e^2 $. Quindi l'insieme di definizione è $ ]0,e^2[\ \cup\ ]e^2,+\infty[ $.
$ f'(x)=\frac{\frac{1}{x}(\log(x)-2)-\frac{1}{x}(log(x)+1)}{(\log(x)-2)^2} = -\frac{3}{x(\log(x)-2)^2} $
Poiché $ \log(x) \neq 2 $, il segno della derivata corrisponde al segno di $ -\frac{1}{x} $, quindi la funzione è strettamente decrescente su tutto il suo insieme di definizione.
$ f''(x)=-3(\frac{-((\log(x)-2)^2+2(log(x)-2))}{x^2(\log(x)-2)^2}) \geq 0 $ $ \Leftrightarrow (\log(x)-2)^2+2(log(x)-2) \geq 0\ \Leftrightarrow\ \log(x)(\log(x)-2) \geq 0 $, da cui $ \log(x) \leq 0 $ oppure $ \log(x) \geq 2 $, cioè $ 0<x \leq 1 $ oppure $ x>e^2 $.
Quindi tra 0 e 1 la funzione è convessa, in 1 presenta un flesso a tangente obliqua di equazione $ Y-f(1)=f'(1)(X-1) $, cioè $ Y+\frac{1}{2}=-\frac{3}{4}(X-1) $, tra 1 e $ e^2 $ la funzione è concava, e per $ x>e^2 $ è convessa.
"Possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!"
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stellacometa2003
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Scusa non capisco... potrei aver fatto qualche errore di calcolo, ma mi devi dare qualche indizio in più...Giggles ha scritto:ma... la derivata non ha il segno di -1/x dappertutto.... e se fosse non sarebbe certo "decrescente" sul dominio....
"Possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!"
oh, merda, non avevo visto il quadrato.... che mona che sono. Scusate, mi vergogno di me stesso... e maledico i bordi delle formule, che non si vedono mai... non è la prima cantonata che prendo per colpa loro....grrr
FONDATORE DELLA LEGA ANTI MICKEY-MOUSE
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(> <) il coniglietto non perdona
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Rimedio subito.EvaristeG ha scritto:Martino, mancherebbe lo studio dei limiti agli estremi del dominio di definizione della funzione...
$ f(x)=\frac{\log(x)+1}{\log(x)-2} $
Studiando il segno di f, si trova che è positiva per $ 0<x < \frac{1}{e} $ e per $ x>e^2 $, nulla per $ x=\frac{1}{e} $, negativa per $ \frac{1}{e}<x<e^2 $. Quindi:
$ \displaystyle\lim_{x \to e^2^{\pm}}f(x)=\pm \infty $.
Inoltre $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=1 $, e $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)=1 $.
"Possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!"
Il quindi non lo colgo ... ci vorrebbero ragioni di continuità e di monotonicità (che effettivamente ci sono) per dedurre il limite dal segno.
Cmq, vorrei far notare un modo più veloce per fare i tre limiti :
$ \displaystyle{\frac{\log(x)+1}{\log(x)-2}=1+\frac{3}{\log(x)-2}} $
e dunque, poichè il logaritmo va a più infinito verso più infinito e a meno infinito in zero, si ottengono i due limiti a 1 da destra e da sinistra; inoltre, poichè (log(x)-2) si annulla e il logaritmo è monotono, si avrà in x=e^2 un asintoto a meno infinito da sinistra e a più infinito da destra.
Cmq, vorrei far notare un modo più veloce per fare i tre limiti :
$ \displaystyle{\frac{\log(x)+1}{\log(x)-2}=1+\frac{3}{\log(x)-2}} $
e dunque, poichè il logaritmo va a più infinito verso più infinito e a meno infinito in zero, si ottengono i due limiti a 1 da destra e da sinistra; inoltre, poichè (log(x)-2) si annulla e il logaritmo è monotono, si avrà in x=e^2 un asintoto a meno infinito da sinistra e a più infinito da destra.
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stellacometa2003
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In questa funzione: y=(x^2-5x+4)/(x-5) mi sono inceppata non appena ho calcolato la derivata prima...una volta fatto ciò...per trovare le coordinate dei punti di minimo e massimo (so già che l'ascissa del max è 3, e l'ascissa del minimo 7) devo fare la derivata seconda? Se si...me la suggerireste, a me viene un malloppone di due metri senza uscita... 