FUNZIONI

[EvaristeG]

ma scusa, se sai che il massimo sta in x=3 e il minimo in x=7, per ricavare le ordinate di tali punti ti basta sostituire nella formula della funzione x=3 e x=7 ... otterrai esattamente le ordinate corrispondenti a quelle ascisse nel grafico della funzione ...

y=(x^2-5x+4)/(x-5) ---> y_M=(3^2-5*3+4)/(3-5)=(9-15+4)/(-2)=1
----> y_m=(7^2-5*7+4)/(7-5)=(49-35+4)/(2)=9

è la definizione di funzione :tu sai che y=f(x) ... quindi se hai x=... per sapere y basta sostituire x=... in f(x).

[stellacometa2003]

oh funghi porcini...giusto!!!!Ma a che serve fare la derivata seconda???

[Martino]

oh funghi porcini...giusto!!!!Ma a che serve fare la derivata seconda???

La derivata seconda ti serve perché ti dice quando la derivata prima cresce e quando decresce. Quando la derivata prima cresce (i.e. f''>0) la funzione si dice convessa, quando decresce (i.e. f''<0) si dice concava.

Quei punti (x,f(x)) in cui f''(x)=0 si chiamano flessi, e sono punti in cui la funzione cambia "concavità", esattamente come i massimi e i minimi relativi sono i punti in cui la funzione cambia "verso" (da decrescente diventa crescente, o viceversa).

Ogni punto (x,f(x)) della curva presenta la sua tangente per quel punto, che ha coefficiente angolare f'(x). Questo vale anche per i flessi.

Ricapitolando, le configurazioni possibili sono:
$ f'(x) \neq 0,\ f''(x)=0 $. In tal caso (x,f(x)) è un flesso a tangente non orizzontale.
$ f'(x)=0,\ f''(x) \neq 0 $. In tal caso (x,f(x)) è un massimo o minimo relativo, perché è un punto stazionario (i.e. f'(x)=0) ma non è un flesso.
$ f'(x)=0,\ f''(x)=0 $. In tal caso bisogna studiare le derivate successive.
$ f'(x) \neq 0,\ f''(x) \neq 0 $. Tutti gli altri casi.

[stellacometa2003]

Grazie mille Martino!!!

[Martino]

Mi scuso perché avevo scritto erroneamente che se $ f'(x)=0 $ e $ f''(x)=0 $ il punto era un flesso. In realtà bisogna studiare le derivate successive, l'ho dimenticato perché probabilmente non ho mai digerito la faccenda.
Comunque viene tutto chiarito nel topic "flessi".

Ciao

[stellacometa2003]

Ricapitolando, le configurazioni possibili sono:
1) $ f'(x) \neq 0,\ f''(x)=0 $. In tal caso (x,f(x)) è un flesso a tangente non orizzontale.

2) $ f'(x) \neq 0,\ f''(x) \neq 0 $. Tutti gli altri casi.

Nella prima è forse un flesso a tangente obbliqua??
Nella seconda intendi casi come punto di cuspide e punto angoloso??

[Martino]

Ricapitolando, le configurazioni possibili sono:
1) $ f'(x) \neq 0,\ f''(x)=0 $. In tal caso (x,f(x)) è un flesso a tangente non orizzontale.

2) $ f'(x) \neq 0,\ f''(x) \neq 0 $. Tutti gli altri casi.

Nella prima è forse un flesso a tangente obbliqua??
Nella seconda intendi casi come punto di cuspide e punto angoloso??

Nella prima è un flesso a tangente obliqua.
Nella seconda non intendo casi di cuspidi e punti angolosi.
Le cuspidi sono caratterizzate dall'avere la derivata che tende a $ + \infty $ a destra e a $ - \infty $ a sinistra, o viceversa.
I punti angolosi sono caratterizzati dall'avere la derivata destra diversa dalla derivata sinistra, ed entrambe finite.
In un punto c'é derivabilità se la derivata destra è uguale alla derivata sinistra.

Per esempio, considera $ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $.

$ f(x)=|x| $ presenta un punto angoloso, (0,0). Infatti se $ x>0,\ f'(x)=1 $, se $ x<0,\ f'(x)=-1 $. Quindi $ \displaystyle \lim_{x \to 0^+}f'(x)=1,\ \lim_{x \to 0^-}f'(x)=-1 $. Punto angoloso.

$ f(x)=\sqrt{|x|} $ presenta una cuspide, (0,0). Infatti se $ x>0,\ f'(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}} $, se $ x<0,\ f'(x)=-\frac{1}{2 \sqrt{-x}} $. Quindi $ \displaystyle \lim_{x \to 0^+}f'(x)=+ \infty,\ \lim_{x \to 0^-}f'(x)=- \infty $. Cuspide.

Ciao.

[stellacometa2003]

Grazie del tuo chiarimento!!!