ciclicità portoghese

[Simo_the_wolf]

Sia $ ABC $ un triangolo e $ I $ il suo incentro. Diciamo che l'incerchio tanga i lati $ AB $, $ BC $, $ CA $ rispettivamente in $ D $, $ E $, $ F $. Detta $ P $ l'altra intersezione della retta $ CD $ con l'incerchio e detto $ M $ il punto medio di $ EF $ dimostrare che $ IMPD $ è ciclico.


P.S.: Scusate l'imprecisione e grazie per la correzione ma in geometria la cosa che odio di più sono forse le lettere....

[Leandro]

Ma la traccia e' quella giusta?
Leandro

[frengo]

Diciamo che l'incerchio tanga i lati $ AB $, $ BC $, $ CA $ rispettivamente in $ D $, $ E $, $ F $. [...] l'altra intersezione della retta $ AD $ con l'incerchio

guarda simo mi sa proprio che le lettere sono date in modo sbagliato....
forse è

Diciamo che l'incerchio tanga i lati $ AB $, $ BC $, $ CA $ rispettivamente in $ E $, $ D $, $ F $.

ciao ciao a tutti

[elianto84]

Ammesso di aver compreso come piazzare le lettere...
CI/CF = CF/CM per similitudine tra CIF e CIM
CP CD = CE^2 per il th.secante-tangente applicato al cerchio inscritto
segue CI CM = CF^2 = CE^2 = CP CD
che ci garantisce la ciclicità di IMPD per l'inverso del th.secante-tangente.

[dario2994]

Riesumo questo vecchio thread perchè ho trovato una bella soluzione con l'inversione.
Invertendo nell'incerchio la tesi diviene che i trasformati di M,D,P siano allineati. D e P restano tali perchè si trovano sulla cfr d'inversione; M viene mandato in C poichè il punto medio di una corda va nell'intersezione delle tangenti. D,P,C sono allineati per costruzione ed ho concluso