Prima Legge di Keplero

[Rael]

Scusatemi, ho finito di ricavarmi la formula per il $ r(\theta) $, dimostrato analiticamente la legge di Keplero, ineffetti l'equazione che spunta fuori in coordinate polari rappresenta delle coniche, ellissi parabole, cerchi iperboli a econda dei coefficienti....
h ed L si possono benissimo trovare a partire dalle condizioni iniziali del problema... dal momento che si conservano.
(quindi niente assunzioni semplificative ^_^ chiedo scusa a Keplero )
Ah si, un ulteriore dettaglio ^_^: Le orbite disegnate dal programma non contraddicono in alcun modo le leggi di Keplero ^_^.

[BMcKmas]

Non intendevo errori grossolani di impostazione o di programmazione, piuttosto piccoli errori numerici che si accumulano nell'integrazione step by step e poi si amplificano. Nella soluzione numerica di problemi conservativi con leggi di moto periodiche questo è molto frequente quando si analizzano molti cicli (prova anche solo a riprodurre il moto armonico libero di una massa attaccata a una molla).

Ma torniamo alle tue considerazioni: l'impatto che tu dici si verifica in teoria solo se la velocità iniziale è diretta sulla congiungente dei corpi. Se i corpi sono puntiformi (come tu assumi) basta che la velocità iniziale abbia una componente tangenziale non nulla (seppur minima) che l'impatto è precluso, proprio per la conservazione del momento angolare. Una componente tangenziale piccola produrrà solo un'ellisse molto eccentrica.

La verifica delle conservazioni la puoi fare numericamente come controllo di coerenza della soluzione numerica. E' infatti evidente che tu le abbia assunte entrambe valide a priori (ma come ben sai spesso le buone intenzioni non bastano).

Comunque, continuo a pensare che sia più agevole effettuare il ragionamento all'inverso, ovvero assumere l'orbita Kepleriana e 'dimostrare' la legge dell'inverso del quadrato, che è quello che ha fatto Newton, piuttosto che assumere la seconda e trovare la prima, che è quello che vorresti fare tu e che Newton non poteva fare!

Ciao

[Rael]

Mah, a dire il vero ho utilizzato lo stesso metodo di simulazione per un pendolo a molla, e per quello ha funzionato divinamente... ora non vedo perchè qui di botto debba non funzionare...
mah, possibile che il programmetto abbia torto marcio ?? apparentemente conservandosi il momento angolare effettivamente il corpo con velocità angolare non nulla non dovrebbe impattare ^_^. Però in fin dei conti la relazione tra r e teta da cui si desume che è una conica in coordinate polari non dà che la relazione qualitativa tra r e teta, non dice nulla sull'evoluzione dei parametri nel tempo ... ^_^

[BMcKmas]

Però in fin dei conti la relazione tra r e teta da cui si desume che è una conica in coordinate polari non dà che la relazione qualitativa tra r e teta, non dice nulla sull'evoluzione dei parametri nel tempo ... ^_^

E' vero, però sai anche che la velocità areolare è costante (seconda legge di Kepler che si può dedurre dalla conservarzione del momento angolare) e questo ti permette di rappresentare la legge di moto sulla traiettoria ....

[Rael]

Areolare costante per i pianeti, nessun problema, deduzione basata su esperimento ed osservazioni, che chiaramente si riferiscono a determinate condizioni iniziali del sistema.

Per la conservazione del momento angolare, L'orbita secondo me può essere convergente, insomma abbiampo detto che il momento angolare si conserva sempre, ora anche nel caso con velocità angolare = 0 si conservano energia e momento angolare. Non vedo perchè non debba conservarsi anche nel caso di un orbita convergente più complessa.
Oltretutto che si, durante la convergenza diminuisce il raggio, la massa si conserva, ma la velocità angolare aumenta ! Ora credo che la cosa si potrebbe dimostrare, dal momento che per la dimostrazione della conservazione del momento angolare, abbiamo preso in considerazione condizioni generiche, non funzione di un certo valore iniziale della velocità angolare.

Ora, preposto questo:
non vedo perchè per una traiettoria spiraliforme convergente il momento angolare non debba conservarsi.

Ora due cose sulle conservazioni:

Dal momento che il sistema è isolato, la sua energia interna deve rimanere costante, condizione espressa dalla Lagrangiana.
Il fatto che si conservi il momento angolare, è derivato direttamente dalle equazioni differenziali per le forze per via puramente matematica.
x BMcKmas non capivo cosa intendevi per "assunte valide a priori". ^_^

[BMcKmas]

Areolare costante per i pianeti, nessun problema, deduzione basata su esperimento ed osservazioni, che chiaramente si riferiscono a determinate condizioni iniziali del sistema.

Non credo, la costanza della velocità areolare (storicamente evidenziata dalle misure) è indipendente dalle condizioni iniziali, equivale alla conservazione del momento angolare.

Per la conservazione del momento angolare, L'orbita secondo me può essere convergente, insomma abbiampo detto che il momento angolare si conserva sempre, ora anche nel caso con velocità angolare = 0 si conservano energia e momento angolare. Non vedo perchè non debba conservarsi anche nel caso di un orbita convergente più complessa.
Oltretutto che si, durante la convergenza diminuisce il raggio, la massa si conserva, ma la velocità angolare aumenta ! Ora credo che la cosa si potrebbe dimostrare, dal momento che per la dimostrazione della conservazione del momento angolare, abbiamo preso in considerazione condizioni generiche, non funzione di un certo valore iniziale della velocità angolare.

Il momento angolare si conserva e la velocità tangenziale aumenta quando mi avvicino al Sole, ma si deve conservare l'energia anche. Per passare da un'orbita a un'altra è necessario fare lavoro (o dissiparlo). Non puoi passare 'naturalmente' da un'orbia a un'altra (la dimostrazione con orbite circolari è elementare). Questo impedisce la spiralizzazione in assenza di forze dissipative (che potrebbero essere di natura numerica). Se parti da un punto con una certa velocità (punchè sia inferiore alla velocità di fuga) sei destinato a tornarci con la stessa velocità: l'orbita è unica e il moto periodico indipendentemente dalle condizioni al contorno (sempre che non sia un'orbita aperta e questo si verifica per velocità iniziali maggiori di quella di fuga).

Ora, preposto questo:
non vedo perchè per una traiettoria spiraliforme convergente il momento angolare non debba conservarsi.

Si può conservare , non ho detto questo, ho detto che non può conservarsi insieme all'energia meccanica.

Ora due cose sulle conservazioni:

Dal momento che il sistema è isolato, la sua energia interna deve rimanere costante, condizione espressa dalla Lagrangiana.
Il fatto che si conservi il momento angolare, è derivato direttamente dalle equazioni differenziali per le forze per via puramente matematica.
x BMcKmas non capivo cosa intendevi per "assunte valide a priori". ^_^

Intendevo prorio questo: le ipotesi sono contenute nella formulazione lagrangiana. Ma scusa: che espressione hai assunto per l'energia potenziale?

ciao

[Rael]

Mah, a questo punto non mi resta fare altro che dimostrare in maniera formale che con una traiettoria spiraliforme non si conserva l'energia meccanica...
per l'enegria potenziale ho considerato:
$ U = -G\frac{Mm}{r} $

Poi visto che ho ancora i dati dell'orbita spiraliforme che mi è spuntata prima, provo a modificare la procedura di discretizzazione, a passi di base più fitti vediamo che succede, se le cause sono numeriche teoricamente dovrebbe cambiare sostanzialmente l'orbita...
chissà se la principale fonte di errore è l'algoritmo di discretizzazione o la precisione finita della macchina...

[BMcKmas]

.....

provo a modificare la procedura di discretizzazione, a passi di base più fitti vediamo che succede, se le cause sono numeriche teoricamente dovrebbe cambiare sostanzialmente l'orbita...
...

buona idea, e già che ci sei fatti stampare istante per istante i valori di momento angolare e energia totale.
In una delle tue ultime hai usato un pendolo elastico come test per la convergenza del solutore numerico. In quel caso però il sistema aveva un solo grado di libertà (problema unidimensionale) e questo fatto stabilizza molto la soluzione dal punto di vista numerico rispetto a un caso bidimensionale come quello in esame .....


ciao

[Rael]

A dire il vero avevo detto pendolo a molla, non oscillatore armonico monodimensionale ^_^ (praticamente un pendolo normale, che invece di essere appeso ad una cordicella era appeso ad una molla... a due gradi di liberà).
Eppure le equazioni differenziali erano un po' più complicate: necessitavano di più calcoli, per cui la propagazione dell'errore avrebbe dovuto fare più danni (e pensare che avevo usato in un primo tempo Eulero, poi Runge-Kutta classico a passo fisso, ma dato che la differenza era davvero minima, ho optato per il primo visto che è un po' più leggero).
Come ho premesso per il secondo ho usato un RK4 con step-sizing adattativo (dimezzamento), faccio ancora qualche prova numerica ma a questo punto propendo per errori dovuti alla propagazione degli errori ed alla precisione finita della macchina.

[BMcKmas]

Non avevo capito il problema dell'oscillatore. OK! Se hai ancora il programma, prova in quel caso a scegliere le costanti (m, k e l) in modo che il periodo di oscillazione orizzontale sia uguale a quello verticale!

ciao

[Rael]

Trovato il problema ! il guaio era nella routine di ricalibrazione dell'intervalo di discretizzazione, con i parametri scelti, per alcuni valori delle costanti del sistema, invece di convergere ad una soluzione, o devia o in casi più particolari ha un comportamento del tutto anomalo !
Ora dovrei averlo stabilizzato!
Grazie a BMcKmas per la sua pazienza

[BMcKmas]

Figurati, è stato un piacere!

ciao e a presto