Un triangolo molto stretto... per giocare a biliardo

[Cammy87]

Alcuni studenti di matematica di Parma hanno realizzato un videogioco in cui è stato simulato un biliardo a forma di triangolo isoscele in cui l'angolo al vertice ha ampiezza di soltanto due primi (un trentesimo di grado!). Una pallina viene lanciata da un estremo della base.
Determinare il massimo numero di rimbalzi che la pallina può fare contro le sponde laterali prima di sbattere nuovamente sulla base.
[Approssimare la pallina ad un punto]

Come si capisce dal testo , ho preso questo problema da una gara a squadre.
Buon lavoro.

[Simo_the_wolf]

Abbastanza straightforward...

5399

[Bacco]

Abbastanza straightforward...

5399

E' "abbastanza" che mi preoccupa.... apparte gli scherzi:

Credo che il risultato sia 5397.

Sia $ \alpha_1 $ l'angolo compreso tra le direttrici del primo rimbalzo, e sia $ x $ l'angolo tra la direttrice di lancio e la base; si dimostra facilmente con angle chasing che $ \alpha_1=2\beta+2x-180° $ e che $ \alpha_i $ diminusce di $ 360°-4\beta $ ad ogni rimbalzo.

Allora $ \alpha_i=\alpha_1-(i-1)(360°-4\beta)=2\beta+2x-180° -(i-1)(360°-4\beta) $. All'ultimo rimbalzo conviene che la pallina torni indietro lungo la sua direzione per massimizzare il numero dei rimbalzi (credo che sia così: se ha un angolo negativo "entrano" meno rimbalzi nel viaggio di ritorno), dunque dovrà impattare perpendicolarmente il lato, ovvero sarà $ \alpha_k=0° $ nel momento dell'inversione.

Da ciò, considerando anche che $ 0<x<\beta \wedge i\in N $, si ottiene $ k=2699 $. A questo punto bisogna considerare il viaggio di ritorno senza contare due volte il rimbalzo d'inversione, dunque $ n=2k-1=5397 $.


Sperando di non aver sbagliato tutto, vi saluto.

[Bacco]

Ah, dimenticavo: sfido chiunque a fabbricare e ad usare un siffatto biliardo!

[Iotologic]

Abbastanza straightforward...

5399

E' "abbastanza" che mi preoccupa.... apparte gli scherzi:

Credo che il risultato sia 5397.

Sia $ \alpha_1 $ l'angolo compreso tra le direttrici del primo rimbalzo, e sia $ x $ l'angolo tra la direttrice di lancio e la base; si dimostra facilmente con angle chasing che $ \alpha_1=2\beta+2x-180° $ e che $ \alpha_i $ diminusce di $ 360°-4\beta $ ad ogni rimbalzo.

Allora $ \alpha_i=\alpha_1-(i-1)(360°-4\beta)=2\beta+2x-180° -(i-1)(360°-4\beta) $. All'ultimo rimbalzo conviene che la pallina torni indietro lungo la sua direzione per massimizzare il numero dei rimbalzi (credo che sia così: se ha un angolo negativo "entrano" meno rimbalzi nel viaggio di ritorno), dunque dovrà impattare perpendicolarmente il lato, ovvero sarà $ \alpha_k=0° $ nel momento dell'inversione.

Da ciò, considerando anche che $ 0<x<\beta \wedge i\in N $, si ottiene $ k=2699 $. A questo punto bisogna considerare il viaggio di ritorno senza contare due volte il rimbalzo d'inversione, dunque $ n=2k-1=5397 $.


Sperando di non aver sbagliato tutto, vi saluto.

Perchè non lo spiegate in parole più semplici così che anche un povero vecchio possa capire!... leggendo così, a volo, mi sono detto che il numero è infinito, se si approssima la pallina al punto, con dimensione zero!

[Bacco]

Non è infinito perchè ad un certo punto impatta il lato con un angolo che la fa rimbalzare in basso invece che ancora in alto...

[edriv]

Perchè non lo spiegate in parole più semplici così che anche un povero vecchio possa capire!... leggendo così, a volo, mi sono detto che il numero è infinito, se si approssima la pallina al punto, con dimensione zero!

Pensavo anche io così... e infatti non ho ancora capito che angoli dovrebbe formare una pallina che rimbalza su uno spigolo. Qualcuno me lo spiega?

[Bacco]

Keep in mind that: l'angolo d'incidenza è uguale a quello di riflessione. E poi coraggio con angle chasing (ovvero: determinare tutti gli angoli )!