Probabilità: pezzi scartati

[Simona85]

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Ciao Ragazzi! Sono nuova del forum..ed anche del calcolo combinatorio! Mi occorrerebbe una mano per risolvere (e soprattutto per capire) un esercizio di probabilità. Ecco il testo:

Si testano nuovi materiali: un pezzo puo' essere scartato (con probabilità del 10%), rispedito in fabbrica (probabilità 20%) o accettato. Qual e' la probabilità che, fra 4 pezzi scelti a caso, uno sia scartato, uno accettato e uno rispedito in fabbrica? Qual e' la probabilità che due pezzi siano accettati, due rimandati in fabbrica e nessuno scartato?

Spero che ci sia qualcuno tanto disponibile per dirmi anche quali teoremi e criteri occorre utilizzare per risolvere problemi di questo tipo.Grazie !

[enomis_costa88]

Qual e' la probabilità che due pezzi siano accettati, due rimandati in fabbrica e nessuno scartato?

Sia c l'evento: il pezzo è accettato.
Sia b l'evento: il pezzo è rimandato in fabbrica.
Sia a l'evento: il pezzo è scartato.
Sia d l'evento complementare di a.

per ipotesi: $ p(a)= \frac{1}{10} $
$ p(b)=\frac{2}{10} $
$ p(c)=\frac{7}{10} $

non voglio che accada l'evento a per quattro scelte consecutive:
la probabilità che non accada per quattro scelte è : $ (1-p(a))^4=(\frac{9}{10})^4 $

Considero come dato l'evento d per 4 scelte consecutive.

la probabilità dell'evento c dato l'evento d è: $ \frac{7}{9} $
la probabilità dell'evento b dato l'evento d è: $ \frac{2}{9} $

Voglio che in 4 scelte accada 2 volte l'evento b e 2 volte l'evento c (che considerando dato l'evento d risulta complementare all'evento b).
Posso usare la distribuzione binomiale (che mi permette di conoscere la possibilità che un'evento capiti esattamente k volte in n prove).
La probabilità cercata, considerando dato d per 4 volte consecutive è:
$ {4 \choose 2} (\frac{2}{9})^2 (\frac{7}{9})^2 $

Devo ora moltiplicare per $ p(d)^4 $ ottenendo:

$ 6 (\frac{2}{9})^2 (\frac{7}{9})^2 (\frac{9}{10})^4 $

Riepilogando ho fatto ciò:
1) calcolato le possibilità che nessun pezzo venga scartato in 4 prove.
2) considerato come dato di fatto che nessun pezzo sia scartato.
3) calcolato le possibilità che esattamente due pezzi vengano accettati in 4 prove (e quindi se nessuno è scartato gli altri due vengono rispediti in fabbrica)
4) moltiplicato le probabilità calcolate precedentemente infatti se A e B sono eventi condizionati la probabilità che accadano entrambi è: P(A\B)P(B) ovvero la probabilità di A dato B per la probabilità di B.

[piever]

$ (\frac{2}{9})^2(\frac{7}{9})^2(\frac{9}{10})^4 $

si può tranquillamente sostituire con il più intuitivo:
$ (\frac{2}{10})^2(\frac{7}{10})^2 $
ovvero si calcolano le probabilità che un evento sia b o c, senza escludere che sia a, semplificando l'espressione si nota che il risultato è lo stesso.

Per quanto riguarda il primo problema, non ho ben capito una cosa: su 4 pezzi uno è a, un altro b, un altro c e il rimanente è a scelta?
Se sì, c'è sicuramente un pezzo che si ripete due volte, basta calcolare le probabilità in base a quello. Se si ripete due volte a ci sono $ {4\choose 2}*{2\choose 1} $ combinazioni moltiplicate per le probabilità che a accada 2 volte, b una e c una. Quindi $ {4\choose 2}*{2\choose 1}* (\frac{1}{10})^2(\frac{2}{10})(\frac{7}{10}) $
A queste vanno sommate le probabilità che b si ripeta due volte e che c si ripeta due volte, quindi si ottiene:

$ {4\choose 2} *{2\choose 1}* (\frac{1}{10})^2(\frac{2}{10})(\frac{7}{10}) $$ +{4\choose 2}*{2\choose 1} *(\frac{1}{10})(\frac{2}{10})^2(\frac{7}{10})+ $$ {4\choose 2} *{2\choose 1}* (\frac{1}{10})(\frac{2}{10})(\frac{7}{10})^2 $

Si può semplificare quest'espressione raccogliendo a fattor comune e si ottiene:

$ {4\choose 2} * {2\choose 1}*{(\frac{1}{10})(\frac{2}{10})(\frac{7}{10})}*[(\frac{1}{10})+(\frac{2}{10})+(\frac{7}{10})] $

e quindi:

$ {4\choose 2} * {2\choose 1}*{(\frac{1}{10})(\frac{2}{10})(\frac{7}{10})} $

EDIT: ora ho corretto

[enomis_costa88]

Qual e' la probabilità che, fra 4 pezzi scelti a caso, uno sia scartato, uno accettato e uno rispedito in fabbrica?

Ho informazioni solo su 3 pezzi.

Calcolo le seguenti possibilità:
1) che due pezzi siano scartati, uno accettato, uno rispedito in fabbrica.
2) due pezzi accettati, uno scartato, uno rispedito.
3) due rispediti, uno accettato, uno scartato.

Calcolo la probabilità 1:

So che esattamente 2 pezzi sono scartati, posso usare la distribuzione binomiale per sapere qual è la probabilità che capiti in 4 prove.
Risulta: $ 6p(a)^2(1-p(a))^2= 6 (\frac{1}{10})^2(\frac{9}{10})^2 $

Ora so che nelle restanti due prove nessun pezzo è scartato.
Ricordo che:
p(b\d) =$ \frac{2}{9} $
p(c\d) =$ \frac{7}{9} $
In queste due prove capita esattamente una volta l’evento b\d e esattamente una volta l’evento c\d.
Quindi usando ancora la distribuzione binomiale posso calcolare la probabilità che in due prove capiti un’evento b\d e uno c\d. Ovvero:
$ {2 \choose 1} $ p(b\c) p(c\d) $ = 2(\frac{2}{9})(\frac{7}{9}) $

La probabilità che in 4 prove capiti che 2 pezzi siano scartati, uno accettato, uno rispedito in fabbrica è quindi:
$ 2(\frac{2}{9})(\frac{7}{9})6 (\frac{1}{10})^2(\frac{9}{10})^2 $

Analogamente calcolo le probabilità 2 e 3.
La 2:
$ 3(\frac{2}{9})(\frac{7}{9})^2 4 (\frac{1}{10})(\frac{9}{10})^3 $
La 3:
$ 3(\frac{2}{9})^2(\frac{7}{9}) 4 (\frac{1}{10})(\frac{9}{10})^3 $

La somma delle probabilità 1,2,3 da quella cercata.
Che dopo qualche calcolino risulta essere $ \frac{21}{125} $

[enomis_costa88]

Bella la tua soluzione!!!

PS forse c'è una piccola imprecisione..ma è carina comuque!!

[piever]

Adesso che ho corretto infatti viene che:

$ {4\choose 2} * {2\choose 1} *{(\frac{1}{10})(\frac{2}{10})(\frac{7}{10})}=\frac{21}{125} $

Grazie per il complimento.

[enomis_costa88]

Se si ripete due volte a ci sono $ 4\choose 2 $ combinazioni moltiplcate per le probabilità che a accada 2 volte, b una e c una.

Se ho ben capito il problema è qui..
Se accade due volte a puoi scegliere in$ { 4\choose 2 } $ modi diversi le due prove in cui accade a ma dopo puoi scegliere in 2 modi diversi la prova in cui accade b.
Quindi dovresti moltiplicare il tuo risultato per 2.

PS continuo a dire che la tua è una bellissima soluzione

EDIT ho visto adesso che hai corretto..arrivo sempre qualche minuto dopo di te oggi

[Simona85]

Grazie a tutti,mi siete stati utilissimi Davvero grazie 1000!

Ah..ps : Faccio una domanda a enomis_costa88, anche se sembrerà stupidissima..

Come hai determinato che La Probabilità dell'evento c dato d è 7/9? mi riferisco al primo post che hai fatto in seguito alla mia domanda.
grazie ancora

[Simona85]

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[enomis_costa88]

Non è una domanda stupida

Sappiamo che:
p(d)= $ \frac{9}{10} $

inoltre p(d)*p(b/d)=p(b)
poichè l'evento b può accadere solo se accade d.

$ \frac{9}{10} $*p(b/d)= $ \frac{2}{10} $ da cui p(b/d)= $ \frac{2}{9} $

Analogamente per p(c/d).