Ciao. Mi hanno chiesto in un m.p. di spiegare meglio quanto intendevo con:
Proposizione Sia x un numero irrazionale. Fissiamo un intervallo I = [0,a), con a<=1. Allora la densità dei multipli di x la cui parte frazionaria (p.f.) cade in I tende ad a. In simboli, definiamoSe tu hai un numero irrazionale e vedi come si distribuiscono le parti frazionarie dei suoi multipli, grosso modo si distribuiscono "uniformemente" sull' intervallo [0,1].
Ma allora sai che, dato un sottointervallo I di [0,1], la "probabilità" che la parte frazionaria di un multiplo del tuo irrazionale è dato dalla misura di I.
$ f(n) = \textrm{card} \big \{ k \in \mathbb N : 0 < k \leqslant n; \{kx\} < a \big\} $,
allora
$ \lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{n} = a $.
WLOG posso cambiare x con {x} e supporre che 0<x<1. Sia allora p quell'unico intero t.c. $ \frac{1}{p+1}<x<\frac{1}{p} $. Siano q e r quoziente e resto della divisione di a per x.
Sia S una successione aritmetica di passo x (s.a.x). Una sequenza B di termini di S è un blocco, se esiste un intero k t.c.
- la parte intera (p.i.) $ \lfloor z \rfloor = k $ al variare di z in B;
- se $ z_{\min} $ e $ z_{\max} $ sono il minimo e il massimo termine di B, allora $ \lfloor z_{\min} - x \rfloor = k - 1 $ e $ \lfloor z_{\max} + x \rfloor = k + 1 $.
In altri termini, un blocco è una s.a.x, di lunghezza massimale, compresa tra due interi.
Fatto 1 Un blocco contiene sempre o p termini, oppure p+1.
Fatto 2 Gli elementi di un blocco, le cui p.f. cadono in I sono q, oppure q+1.
Consideriamo ora una s.a.x. Essa sarà formata di un tratto iniziale, che non arriva a completare un blocco intero, un certo numero di blocchi (diciamo b blocchi interi) e un tratto finale.
L'idea è che i tratti iniziali e finali non contano nello stabilire la densità asintotica, dato che facendo tendere il numero dei termini all'infinito, i blocchi interi dominano la successione.
Vediamo formalmente: sia n il numero di termini della s.a.x che stiamo considerando. Sia b il numero di blocchi interi. Cerchiamo stime dall'alto e dal basso di n e f(n) in funzione di b. Comincio con lo stimare n.
Stima dalla alto: i termini iniziali sono al massimo p (altrimenti formerebbero un blocco intero), i termini nei blocchi sono al massimo b(p+1) (per il Fatto 1), i termini finali sono al massimo p; stima dal basso: i termini iniziali sono almeno 0, così come quelli finali, i termini nei blocchi sono almeno bp. Ossia:
$ bp \leqslant n \leqslant b(p+1) + 2p $
Analogamente, stimando f(n), si ha:
$ bq \leqslant f(n) \leqslant b(q+1) + 2q $
Mettendo insieme i pezzi, si arriva a:
$ \frac{bq}{b(p+1) + 2p} \leqslant \frac{f(n)}{n} \leqslant \frac{b(q+1) + 2q}{bp} $,
che, mettendo in evidenza i termini dominanti, può essere scritta come:
$ \frac{q}{p+1} + O\left( \frac{1}{n} \right) \leqslant \frac{f(n)}{n} \leqslant \frac{q+1}{p} + O\left( \frac{1}{n} \right) $.
Facendo tendere n all'infinito si ricava:
$ \liminf_{n \to \infty} \frac{f(n)}{n} \geqslant \frac{q}{p+1} $
$ \limsup_{n \to \infty} \frac{f(n)}{n} \leqslant \frac{q+1}{p} $.
Ok. Abbiamo stime per il liminf e il limsup. Le vogliame legare al limite desiderato (a):
Fatto 3
$ \frac{q}{p+1} < a < \frac{q+1}{p} $.
Il problema è che a questo punto, per raffinare il risultato, dovremmo stimare la densità dei blocchi con p termini rispetto a quelli con p+1 termini (e, analogamente, q contro q+1).
Ci piacerebbe in un certo senso fare tendere q/p ad a, facendo così stringere liminf e limsup attorno al limite voluto. Così però non si può fare, a meno di cambiare x con un opportuno valore che tende a 0. Farò vedere che il risultato continua a funzionare anche se si sostituisce x con un suo multiplo opportuno.
Ma prima serve il
Fatto 4 Le parti frazionarie dei multipli di x si accumulano a destra di 0, che si prova equivalente a dire che sono dense in [0,1].
Scegliamo allora un opportuno y multiplo di x, con p.f. sufficientemente piccola. Ripeto il ragionamento iniziale con y al posto di x. Idealmente, se {y} diventa sufficientemente piccolo, p diventa arbitrariamente grande, la differenza tra $ \frac{q}{p+1} $ e $ \frac{q+1}{p} $ diventa infinitesima e entrambe le frazioni convergono ad a, infine i liminf e limsup convergono al limite.
L'unico problema è che dobbiamo legare le densità di s.a.y con quella della s.a.x originale.
Sia allora k quell'intero t.c. y = kx.
Riconsideriamo la nostra s.a.x e la suddividiamo in k sottosuccessioni s.a.y, distribuendo ciclicamente i termini della successione originaria. La prima sottosuccessione conterrà, ad esempio, $ x_0, x_k, x_{2k}, \dots $, la seconda $ x_1, x_{k+1}, x_{2k+1}, \dots $, e così via, fino all'ultima che conterrà $ x_{k-1}, x_{2k-1}, x_{3k-1}, \dots $.
In ognuna di esse, la densità che cade in I è stimata dal basso e dall'alto da $ \frac{q}{p+1} $ e $ \frac{q+1}{p} $ [p e q stabiliti sulla base di y].
Ora, di nuovo, data la distribuzione uniforme della s.a.x iniziale nelle s.a.y, si avrà che la densità media corrisponderà alla media delle densità (e quindi avrà le stesse stime dal basso e dall'alto).
Formalizziamo l'idea:
Di nuovo, sia n il numero di termini della s.a.x. Sia b il quoziente intero di n/k. Avremo cioè almeno b termini in ogni s.a.y, con alcuni termini di resto. I termini di resto fanno la stessa identica fine dei termini che rimanevano fuori da un blocco intero, ossia danno un contributo $ O \left( \frac{1}{n} \right) $, che scompare nel passaggio al limite.
Posso così supporre che n sia composto dai soli termini che dominano, cioè n = bk. Indicherò $ f_i(b) $ il numero di parti frazionarie che cadono in I nella sottosuccessione i-esima. Si ha che
$ \frac{f(n)}{n} = \frac{ \sum_{i=1}^k f_i(b) }{n} = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^k \frac{f_i(b)}{b} $
Mi sono così ricondotto alle densità sulle singole sottosuccessioni, che posso stimare con le stime che già so:
$ \frac{q}{p+1} + O \left( \frac{1}{n} \right) \leqslant \frac{f_i(b)}{b} \leqslant \frac{q+1}{p} + O \left( \frac{1}{n} \right) $.
Sommando su i e dividendo per k ottengo:
$ \frac{q}{p+1} + O \left( \frac{1}{n} \right) \leqslant \frac{f(n)}{n} \leqslant \frac{q+1}{p} + O \left( \frac{1}{n} \right) $.
Ne segue che le stime della densità sulle sottosuccessioni si applicano anche alla successione a.x iniziale. Dato che, per il Fatto 4, posso partire da un y con parte frazionaria arbitrariamente piccola, le stime possono essere rese vicine a piacere al limite voluto. []
Per completare il discorso, è facile vedere che la densita per intervalli [a,b) generici si ottengono per differenza rispetto alle densità di [0,b) e [0,a). In sostanza, la densità su ogni sottointervallo I di [0,1] è data dalla misura dell'intervallo.