STUDIO LIMITI

[gilberto]

CIAO A TUTTI GLI UTENTI, VI PROPONGO DEI LIMITI SUI QUALI HO DEI DUBBI:

*) lim per x che tende a piu' infinito di (2x+1)/x (al quadrato) = 0 usando la def. di limite devo dimostr. che per ogni K>0 esiste m>0 t.c. per ogni x>m |f(x)-l|<K
sviluppando la funzione arrivo alle disequazioni
--(2Kx(quadro) + Kx + 2) <0> 0 MI DA
x > x1 = [-1 + RADICE QUADRATA DI 1+(16/k)]/4
x <x2>0 esiste Intorno di 0 t.c. per ogni x elemento dell'Int. |f(x)-l|<K
|(3x-2)+(-1)|<K ; |3x-3|<K ; |3(x-1)|<K ; |x-1|<K/3 ; 1-(K/3) < x < 1+(K/3)
NON E' VERIFICATO PICHE' LA x NON APPARTIENE AD UN INTORNO DI 0

*) lim per x che tende ad 1 dalla sinistra di RADQ(x"quadro"/1-x) = piu' nfinito
MI SI CHIEDE DI DEFINIRE PRIMA IL DOMINIO POI DI VERIFICARE IL LIMITE.
--DOMINIO = (meno infinito ; 1)
--Devo dimostrare che per ogni m>0 esiste un Int. sx di 1 t.c. f(x)>m per ogni x elemento Int. sx:
RADQ(x"quadro"/1-x) > m ; (x"quadro"/1-x) > m"quadrato" ;
(x"quadro"/1-x) - m"quadrato" > 0 ;
(x"quadro" - m"quadro" + m"quadro"x)/1-x > 0
OTTENGO COME SOLUZIONI DELLA DISEQUAZIONE:
DENOM x<1
NUMER m"quadro"[(-1) +- RADQ(1+(4/m"quadro")] tutto diviso 2
NON CAPISCO DOVE E SE HO SBAGLIATO POICHE' NON PENSO ESISTA UN INTORNO SX DI 1

CHIEDO SCUSA A CHI VORRA' RISPONDERE MA NON SONO IN GRADO DI USARE TEX

[EvaristeG]

Se guardi nella sezione Latex, questo sconosciuto, troverai tutte le informazioni che ti servono su come scrivere in latex sul forum.

[gilberto]

ciao EvaristeG, grazie per avermi detto dove prendere il TEX.
Puoi dirmi se i limiti che ho mandato sono esatti ??
Grazie gilberto

[Ponnamperuma]

Suvvia, provo a riscriverlo io, almeno in parte = finchè ne ho voglia!

1) $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2x+1}{x^2}=0 $

La scrittura, sempre che l'abbia interpretata correttamente, dice che comunque scelto un $ \displaystyle \varepsilon > 0 $ piccolo a piacere, si determina un intorno $ \displaystyle I $ di infinito, tale che, con $ \displaystyle x \in I $, si ha $ \displaystyle \left |\frac{2x+1}{x^2} \right| < \varepsilon $.

Non capisco bene quale sia la consegna... devi verificare la correttezza del risultato proposto? Oppure trovare l'intorno di $ \displaystyle + \infty $ sopra menzionato?

Nel primo caso ti basta raccogliere sia a numeratore sia a denominatore il termine di grado massimo... al che ottieni
$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac {x(2+\frac{1}{x})}{x^2} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac {2+\frac{1}{x}}{x} $, laddove il numeratore tende a 2 per x grande, mentre il denominatore tende a $ \displaystyle + \infty $... Segue che il limite della tua funzione è effettivamente 0.

Se invece devi trovare l'intorno... beh... devi risolvere $ \displaystyle \left |\frac{2x+1}{x^2} \right| < \varepsilon $, quindi $ \displaystyle -\varepsilon < \frac{2x+1}{x^2} < \varepsilon $... ed è tutto qui...

Secondo me ti sei incasinato confondendo definizioni... non mi tornano i K e gli m maggiori di 0... spero di non aver preso un granchio!

Per il secondo esercizio cedo il posto a qualche altro volenteroso, sperando di essere stato esauriente circa questo qua!

Ciao!

[MindFlyer]

Ok gilberto, stammi a sentire. Ho letto con fatica il tuo primo post, e vedo che fai lo stesso errore in entrambi i problemi.
Il fatto è che secondo me, senza offesa, prima di metterti a studiare Analisi 1 dovresti ripassarti un bel po' di Matematica elementare. Altrimenti è chiaro che fatichi a districarti addirittura tra le definizioni di limite, commettendo sistematicamente un errore concettuale gravissimo!

L'errore che fai si può riassumere in questo modo: supponi di avere un cesto di mele, alcune rosse, altre gialle. Ti si chiede se nel cesto c'è una mela rossa. E la tua risposta è "no, perché ci sono sia mele rosse che gialle".

In sostanza, se devi dimostrare che esiste un certo intervallo in cui f(x) ha certe proprietà, e risolvendo disequazioni varie trovi che le proprietà sono soddisfatte in un insieme più vasto, allora a maggior ragione sono soddisfatte da quell'intervallo.

Rileggi le tue soluzioni ripensando a questo, e cerca di correggere l'errore.

[MindFlyer]

Altra cosa: dici di non saper usare un forum e per questa volta sarò clemente...
Per favore, evita di creare più volte lo stesso thread con titoli simili (in gergo, "floodare"). Non otterrai più risposte, ma in compenso romperai le scatole ai moderatori che dovranno cancellare le copie in eccesso.

[SkZ]

visto che hai postato anche qui, ti rispondo qui (che col $ \LaTeX $ e' piu semplice

1)allora sarebbe $ \displaystyle \forall \epsilon>0 \qquad \left|\frac{2x+1}{x^2}-0\right|<\epsilon \quad \forall x>M(\epsilon) $
dato che $ \displaystyle x > -\frac{1}{2} $ si ha $ \displaystyle \frac{2x+1}{x^2}<\epsilon $ e poi dato che $ \displaystyle x^2>0 \; \textrm{ allora }\; 2x+1<\epsilon x^2\;\textrm{ allora }\; \epsilon x^2-2x-1 >0 $
che e' vera per $ \displaystyle x> \frac{1+\sqrt{1+\epsilon}}{\epsilon} \quad (\approx 2/e+1/2) $
quindi $ \displaystyle \forall \epsilon>0 \qquad\exists M=\frac{2}{\epsilon}+\frac{1}{2} \quad : \quad \left|\frac{2x+1}{x^2}-0\right| <\epsilon \quad \forall x>M $
(delle due radici dell'equazione di 2grado ti interessa solo quella che ti serve, l'altra la trascuri allegramente)


PS per mindflyer: perche' il latex si incasina tanto? non riesco a frgli scrivere quello che voglio! mi taglia sempre le formule
risposta: bisogna disabilitare l'html. me ne sono ricordato solo adesso. c'e' anche un topic che ne parla

[SkZ]

2) il dominio e' giusto con gli estremi esclusi ( $ ]-\infty;1[ $)
sarebbe $ $ \left|\sqrt{\frac{x^2}{1-x}}\right|>m \quad \forall x\in ]1-\epsilon(m);1[ \quad \epsilon>0 $
dato che $ $ x\in ]-\infty;1[ $ e il risultato della radice e' sempre positivo per definizione (considero radice geometrica, mi pare che si chiami cosi') allora ho $ $ x^2 +m^2 x-m^2>0 $.
Prendendo solo la soluzione d'interesse ho $ $ x>\frac{-m^2+\sqrt{m^4+4m^2}}{2} $.
Dato che $ m\gg 1 $ allora $ \displaystyle x > \frac{-m^2+\sqrt{m^4+4m^2}}{2} = \frac{m^2}{2} \left(-1+\sqrt{1+\frac{4}{m^2}}\right) $
$ \displaystyle \simeq \frac{m^2}{2} \left(-1+1+\frac{2}{m^2}-\frac{1}{2m^4}\right)= 1-\frac{1}{4m^2} $
$ $ x>1-\frac{1}{4m^2} $
Quindi abbiamo che $ $ x<1 $ per dominio e $ $ x>1-\frac{1}{4m^2} $ in base alla soluzione.
Posto $ \epsilon=\frac{1}{4m^2} $ e m>1 si ottiene il voluto

A proposito di quello detto da MindFlyer, i limiti sono un lavoro da cesello: non importa com'e' il resto, solo quello che succede nella "piccola" zona che consideri

[gilberto]

ciao SKZ,
Ho uno studio di dominio da proporti:
RADQ 2xquadro -x|1-x|

ho posto il radicando >=0 e l'ho studiato:
*) per x>=0 avendo come risultato: x>=0 ^ x>=1/3
*) per x<0>=0 ^ x>= -1

mettendo i risultati lungo la solita retta ottengo che:
f(x) > 0 nell'intervallo [-1;0] ^ [1/3; +infinito]
f(x) <0 nell'intervallo [-infinito;-1] ^ [0;1/3]

DOMINIO è : [-1;0] ^ [1/3; +infinito] ?????????

[SkZ]

1) IMPARA IL LATEX!

2)dovrebbe essere $ \displaystyle \sqrt{2x^2-x|x-1|} $
dato che hai il modulo, ti conviene studiare i due casi separati
$ \displaystyle \left\{\begin{array}{ll} x\ge 1 & 2x^2-x(x-1)=x^2+x=x(x+1) \\ & \\ x<1 & 2x^2-x(1-x) = 3x^2-x = 3x (x - \frac{1}{3} ) \\ \end{array} $
Il primo termine e' positivo o zero per tutti gli x in considerazione ($ ~ x\ge 1 $).
Il secondo e' positivo per $ ~ x\le 0 \; \lvee \; \frac{1}{3}\le x <1 $ (stiamo considerando solo x<1)
quindi unendo i casi hai che il dominio della funzione e' $ ~ x\le 0 \; \lvee \; x\ge\frac{1}{3} $