Funzione "unica"

[SkZ]

inoltre, la sostituzione
$ ~ x \rightarrow (\sqrt{x})^2 $ ti permette di renderla definita solo per $ ~ x\ge 0 $
$ ~ x \rightarrow \exp{(\ln{x})} $ ti permette di renderla definita solo per $ ~ x> 0 $
se vuoi avere una funzione "auto-definita" solo sugli interi (un dominio "periodico") conviene usare una funzione periodica. $ ~ \cos^2(x\pi) $ vale 1 se $ ~ x\in\mathbb{Z} $, $ ~ <1 $ altrimenti, quindi $ ~ \cos^2(x\pi) -1 $ vale 0 se $ ~ x\in\mathbb{Z} $ ed e' negativa altrimenti, quindi $ ~ \sqrt{\cos^2(x\pi) -1} $ e' definita solo su $ ~ \mathbb{Z} $

[BMcKmas]

OK, ora ho colto il senso del tuo intervento. Hai interpretato la richiesta come: una funzione non definta se non sui Naturali!
Ma se x è complesso?

Ciao

[SkZ]

sono cavoli! dato che su $ ~ \mathbb{C}^* $ sono definite tutte le funzioni
(piu' che altro le loro generatrici: $ ~ \frac{1}{z-s}\rightarrow \frac{1}{z} $, consideriamo a meno di rotazioni e traslazioni)

[esaurito]

A mio modesto avviso i dubbi sorgono perché il problema non è posto in modo del tutto rigoroso.

Anzitutto perché per rispettare la condizione di $ x $ intero non nullo potrei utilizzare una funzione come quella individuata da BMcKmas e aggiungendoci $ x\in\mathbb{N} $.

E poi perché esprimere in forma "unica" tale funzione richiede comunque il ricorso a funzioni che non sono esprimibili in forma "unica", come $ \Theta(x) $ o $ \textrm{sgn}(x) $ o $ |x| $.

Ad esempio introducendo la funzione di Heaviside si può scrivere:

$ \displaystyle{ f(x) = x \left[1-\Theta(x-30)\right] + 30 \, \Theta (x-30) $ per $ x\in\mathbb{N}} $

oppure, introducendo la funzione $ \textrm{sgn}(x) $ si può scrivere:

$ \displaystyle{ f(x) = \frac{x}{2} \left[1-\textrm{sgn}(x-30)\right] + 15 \left[1+ \textrm{sgn}(x-30)\right] } $ per $ x\in\mathbb{N} $

A mio avviso sarebbe carino riformulare il problema in questo modo:

Trovare l'espressione di una funzione $ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} $ definita solo per $ x\in\mathbb{N} $, scritta in modo unico e utilizzando solo funzioni elementari o la funzione valore assoluto, tale che per $ 0 \leq x \leq 30 $ sia $ y=x $ e per $ x > 30 $ sia $ y = 30 $.

Una soluzione valida a questo problema "riformulato" è quella di SkZ.
Penso vada bene anche la seguente (ottenuta con gli stessi ragionamenti di SkZ):

$ \displaystyle{f(x) = \exp{\sqrt{\cos^2[\pi (\sqrt{x})^2]-1}}} \left\{ 15 + \left \frac{x}{2}\right -\left | 15 - \frac{x}{2} \right| \right\} } $

[edriv]

Sì, solo una cosa: stai attento a scrivere $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, perchè così secondo la convenzione più in uso (e anche più sensata, qualcuno dice) supponi che la f sia definita su tutto il dominio (R).

Per formulare correttamente il problema penso dovresti chiedere di trovare una "formula" che definisca una funzione da N in R, e tale che sia possibile estendere il suo dominio ad A, con $ \mathbb{N} \subset A \subset \mathbb{R}, A \neq \mathbb{N} $, senza che perda significato.

[esaurito]

Sì, solo una cosa: stai attento a scrivere $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, perchè così secondo la convenzione più in uso (e anche più sensata, qualcuno dice) supponi che la f sia definita su tutto il dominio (R).

Per formulare correttamente il problema penso dovresti chiedere di trovare una "formula" che definisca una funzione da N in R, e tale che sia possibile estendere il suo dominio ad A, con $ \mathbb{N} \subset A \subset \mathbb{R}, A \neq \mathbb{N} $, senza che perda significato.

Sicuramente la tua formulazione è più rigorosa.
Io con $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ intenderei $ \mathbb{R} $ come insieme di partenza e $ \mathbb{R} $ come insieme di arrivo ma è sicuramente ambiguo.
Grazie per la precisazione.

[SkZ]

attenzione che la nostra funzione non e' $ ~ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $, ma $ ~ \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R} $
la definizione di funzione impone che ad ogni elemento di X sia assegnato un elemento di Y.
Se poniamo $ ~ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ abbiamo solo una relazione.

[Nonno Bassotto]

Scusate se mi intrometto, ma mi sfugge il senso di tutta questa discussione. Matematicamente il problema non è ben definito. Tutta questa precisazione non vuole essere una polemica con chi si diverte a trovare formule opportune. Vorrei solo che chi legge evitasse fraintendimenti su dominio e codominio di una funzione.

Grosso modo si chiede una formula per una funzione definita a tratti; inoltre si vuole che questa formula abbia senso solo quando l'argomento è un numero naturale.

Il problema è che le funzioni non "hanno senso" su un argomento quando gli pare a loro. Ogni funzione ha un suo dominio e un suo codominio, che fanno parte della definizione di funzione, insieme all'eventuale formula. Ad esempio la funzione

$ f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} $

$ f(x)=x^2 $

è diversa dalla funzione

$ f: \mathbb{R} \mapsto [0, +\infty[ $

$ f(x)=x^2 $
perché il codominio è diverso. Infatti la seconda è surgettiva, la prima no.

Ciò detto non ha molto senso dire, ad esempio, che il logaritmo è definito solo su $ \mathbb{R}_+ $. Dipende. Uno può definire il logaritmo dando un dominio più piccolo, o anche più grande: c'è una definizione ragionevole di logaritmo su tutti i complessi meno l'asse reale negativo, a valori complessi.

Risolvere questo problema può stimolare a trovare qualche trucco, ma matematicamente una soluzione può essere "sia pippo la funzione che è soluzione del problema, e che è definita solo sui naturali fino a 30. Allora si può scrivere f in forma unica con la formula f(x)=pippo(x)".

Usare logaritmi e altre funzioni sposta solo il problema. Il logaritmo è definito sull'asse reale positivo perché così ci siamo accordati, non perché sia impossibile definirlo sui negativi o "non abbia senso" calcolato sui negativi.

Purtroppo al liceo si insiste molto sul cosiddetto "campo di esistenza" di una funzione, che non è un concetto matematicamente ben definito. Quello che è definito è il dominio e il codominio, ma questi non si ricavano da una formula.

[mitchan88]

Cos'è la funzione di Heaviside?

[SkZ]

funzione gradino di Heaviside, chiamata anche funzione gradino unitaria e nominata in onore di Oliver Heaviside, é una funzione discontinua che ha valore zero per argomenti negativi e uno per argomenti positivi

[BMcKmas]

Concordo pienamente con NonnoBassotto.

ciao

[SkZ]

Non gli si puo' dare proprio torto: piu' che su definizioni ci basiamo su convenzioni (comportamento non strettamente matematico, piu' fisico)

[BMcKmas]

Beh .... anche le definizioni sono convenzioni. Direi solo che il suo ragionamento è più rigoroso.
Non tireri qui in ballo la Fisica, che a mio avviso, centra ben poco con il problema.

ciao

[SkZ]

Non parlavo di Fisica ma di comportamento in stile fisico, ovvero seguito dai fisici. A volte in ambito fisica l'estremo rigore non porta da nessuna parte oppure non aiuta, in matematica piu' sei rigoroso piu' ottieni.

[BMcKmas]

Non condivido questa visione che mi sembra un luogo comune, ma non voglio polemizzare anche per non andare fuori tema.

ciao