Disuguaglianza di Karamata

[Simo_the_wolf]

Date due n-uple ordinate $ (x_1, x_2, ... , x_n) $ e $ (y_1, y_2, ... , y_n) $ se $ \sum \limits_ { i=1} ^ k x_i \geq \sum \limits_ { i=1} ^ k y_i $ per ogni $ 1\leq k \leq n $ e $ x_1+x_2+... + x_n = y_1 + y_2 + ... + y_n $ (in breve questo si dice che $ (x_1, x_2, ... , x_n) $ maggiorizza $ (y_1, y_2, ... , y_n) $). Data una funzione convessa $ f(x) $ allora:


$ f(x_1)+f(x_2)+ ... + f(x_n) \geq f(y_1)+f(y_2)+ ... + f(y_n) $

[pi_greco_quadro]

Premetto che la soluzione devo ancora cercarla, ma così leggendo il tuo post mi pare ci sia qualcosa che non va...

deve valere

$ \sum \limits_ { i=1} ^ k x_i \geq \sum \limits_ { i=1} ^ k y_i\quad \forall 1\leq k \leq n $ oppure $ 1\leq k\leq n-1 $ ??

Grazie in anticipo...

[hydro]

beh se il segno tra le due sommatorie è $ \ge $ e non $ > $ e la condizione deve essere verificata $ \forall 1 \le k \le n $ può anche essere vero che $ x_1+x_2+...+x_n=y_1+y_2+...+y_n $... no?

[MindFlyer]

Boia, ma nelle scuole elementari non s'insegna più che $ = $ implica $ \geq $?
Non mi sto rivolgendo in particolare a $ \pi ^2 $ (non mi permetterei!), ma è una cosa che continuo a riscontrare sempre più spesso. Qui c'è qualcosa di strano e allarmante..

[pi_greco_quadro]

scusate

[MindFlyer]

Non ti devi scusare di niente, mi sono spiegato male: era un discorso che facevo in generale, non rivolto a te..
E' che questo stesso misunderstanding si sta diffondendo un po' ovunque, tant'è vero che domande come "$ 5\geq 3 $?" si trovano già nei test d'ammissione per Ingegneria, ed il mio stesso prof. di matematica del liceo (che non era una cima, lo ammetto) si è trovato in imbarazzo proprio di fronte ad un problema di questo tipo!!!
Fine dell'OT, comunque (in fondo si parlava di teoria di base.. ).

[MindFlyer]

Tornando in topic, direi che la cosa scritta da Simo è un teorema se si suppone che gli $ x_i $ e gli $ y_i $ siano ordinati opportunamente, ovvero che $ i<j \implies x_i\geq x_j \wedge y_i\geq y_j $, e non in generale.

Come controesempio si prenda $ (x_1,x_2)=(0,0) $, $ (y_1,y_2)=(-1,1) $ e $ f(x)=x^2 $.