Tagliando e ricucendo...

[Pigkappa]

Il kedlaya li propone nella sezione iniziale (sliding and dicing), anche se ovviamente ci sono altre soluzioni più semplici (almeno per me). Per favore, fateli anche ricomponendo le figure che io non ci sono riuscito

1)Siano a, b, c, d i lati del quadrilatero, ordinati in senso antiorario. Dimostrare che l'area non supera $ \frac{ac+bd}{2} $

2)Sia ABC un triangolo e siano $ M_a,M_b,M_c $ i punti medi. Dimostrare che l'area del triangolo che ha per lati $ AM_a,BM_b,CM_c $ vale 3/4 dell'area di ABC.

[edriv]

Il triangolo da costruire lo vedi.
Traccio la parallela a CD per A e la parallela ad AM_a per C, che interseca la prima retta in D.

Ora vorrei dimostrare che M_cD è uguale a BM_b. Lo puoi fare coi vettori oppure: ADCM_a parallelogramma (lati opposti paralleli). Quindi AD = M_aC = M_bM_c. Inoltre AM_c = M_cB. Da qui concludi che i triangoli ADM_c e M_cM_bB sono congruenti.

Ora che hai costruito il triangolo che volevi, troviamone l'area.
Se M_cM_b interseca CD in X, conviene considerare la base M_cX, perchè così l'altezza è la stessa di ABC.

Ora resta solo da dimostrare che M_bX è 1/4 di BC (facile) ed è fatta (la base è i 3/4 della base BC).


In quanto al primo problema, non avrei proprio idea di come risolverlo senza usare Tolomeo... anzi credo che una possibile soluzione di solo "taglia e incolla" dimostrerebbe la disuguaglianza di Tolomeo.

[MindFlyer]

In quanto al primo problema, non avrei proprio idea di come risolverlo senza usare Tolomeo... anzi credo che una possibile soluzione di solo "taglia e incolla" dimostrerebbe la disuguaglianza di Tolomeo.

Niente di più falso, c'è una semplicissima e brevissima soluzione taglia-e-incolla.

Anche per il secondo problema, esiste un modo per "smontare" il triangolo delle mediane in 3 triangolini in modo che ognuno possa essere sistemato in ABC occupandone 1/4 dell'area.

[piever]

Posto in invisibile la soluzione taglia e ricuci perché è "accessibilissima":

Basta prendere il triangolo formato da a,b e una diagonale e fare il simmetrico attorno all'asse della diagonale. Il quadrilatero ottenuto (b,a,c,d) ha la stessa area del precedente, ovvero (ac*sin x+bd*sin y)/2 e siccome il seno non è mai maggiore di 1...

@ edriv: sei sicuro da questo segua Tolomeo?

[edriv]

No, ho sparato una cazzata perchè pensavo che l'area del quadrilatero fosse metà del prodotto delle diagonali... senza moltiplicare per il seno .