Analisi uno

[MindFlyer]

Puoi fare quella sostituzione perché lo dice il teorema del limite della funzione composta. Forse era questo a non essere chiaro. Se le funzioni in gioco sono continue, puoi fare impunemente tutti questi giochetti di scomposizione dei limiti in sotto-limiti.

[mistergiovax]

Ringrazio MindFlyer e SkZ.
Per risolvere il suddetto limite avevo fatto così:

chiamo $ y=a^{1/n}+1 $ e quindi ho (cambiando ''logaritmo in base y-1 di a'' in $ \frac{ln{a}}{ln{(y-1)}} $ per il cambio di base

$ \displaystyle \lim_{y\to2}{\left(\frac{y}{2}\right)^\frac{ln{(a)}}{ln{(y-1)}}} $ cioè
$ \displaystyle \lim_{y\to2}e^{ln{\left(\frac{y}{2}\right)^\frac{ln{a}}{ln{(y-1)}}}} $
metto l'esponente (il numeratore soltanto cioè $ ln{a} $) prima del logaritmo ottenendo
$ \displaystyle \lim_{y\to2}a^{ln{\left(\frac{y}{2}\right)^\frac{1}{ln{(y-1)}}}}} $
chiamando x=y-2 con $ {x\to0} $ ottengo
$ \displaystyle \lim_{x\to0}a^{ln{\left(\frac{x+2}{2}\right)^\frac{1}{ln{(x+1)}}}}} $
moltiplico e divido l'esponente di$ ln{\frac{x+2}{2}} $ per $ x $
togliendo il limite notevole (che vale uno) e mettendo l'esponente prima del logaritmo rimane:
$ \displaystyle \lim_{x\to0}a^{\frac{1}{x}{ln{\left(\frac{x+2}{2}\right)}}}} = \displaystyle \lim_{x\to0}a^{\frac{1}{x}[{ln{\left(2(x/2+1)}\right)-ln{2}]}}}} $ separando il prodotto che ho nell'argomento del logaritmo ho un $ ln{2}-ln{2} $ che va via e mi rimane
$ \displaystyle \lim_{x\to0}a^{\frac{1}{x}{ln{(x/2+1)}} $
questo è quasi limite notevole, così ottengo $ a^{1/2} $

in sintesi questo è quello che ho fatto (più una ventina di passaggi inutili)

perdonatemi se c'è qualche errore di scrittura, del resto è la seconda volta nella mia vita che uso LateX.