Il punto medio tra l'ortocentro e il baricentro

[pi_greco_quadro]

Sia dato un triangolo $ ABC $. dimostrare che, detto $ F $ il punto medio tra l'ortocentro ed il baricentro, si ha $ AF^2+BF^2+CF^2=3R^2 $, dove $ R $ è il raggio della circonferenza circoscritta.

Ciao

[enomis_costa88]

Origine in O.
Per i fatti relativi alla retta di eulero $ F=\frac{2}{3}(A+B+C) $

$ LHS = \sum_{cyc}|F-A|^2 $ $ = \sum_{cyc}|\frac{2}{3}(B+C)-\frac{1}{3}(A)|^2 $

$ =\sum_{cyc}\frac{4}{9}(|B|^2+|C|^2)+\frac{1}{9}|A|^2+\frac{8}{9}<BC> - \frac{4}{9} (<AB> + <CA>) $

$ =|B|^2+|C|^2+|A|^2 = 3R^2 $