Limite con sommatoria (abb. facile)

[Ani-sama]

Calcolare:

$ $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \exp \frac{k}{n}$ $

Ciao!

[SkZ]

carino e interessante (e' giusto il risultato?)

1-e

[Ani-sama]

Ehmmm... quasi giusto

[SkZ]

ti riferisci al segno? e chi lo dice che non possa venire negativa la sommatoria di termini positivi?

[hexen]

si ha

$ $ \frac 1 n \int_1^n e^{\frac{x-1}{n}}dx \leq \frac 1 n \sum_{k=1}^n e^{k/n} \leq \frac 1 n \int_1^n e^{x/n}dx$ $ per cui il limite è e-1

[SkZ]

piu'semplicemente

$ $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \exp \frac{k}{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(e^\frac{1}{n}\right)^k$ $$ $=\frac{1}{n} \frac{e^\frac{1}{n}-e\cdot e^\frac{1}{n}}{1-e^\frac{1}{n}}$ $ $ $= e^\frac{1}{n}(1-e)\frac{\frac{1}{n}}{1-e^\frac{1}{n}}$ $ $ $= (e-1) e^\frac{1}{n} \frac{\frac{1}{n}}{e^\frac{1}{n}-1}$ $

facendo tendere n a infinito si ottine $ ~e-1 $

[talpuz]

oppure si può semplicemente usare il fatto che le somme di riemann convergono all'integrale, quindi quel limite è l'integrale di e^x tra 0 e 1