Calcolare:
$ $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \exp \frac{k}{n}$ $
Ciao!
Limite con sommatoria (abb. facile)
ti riferisci al segno? e chi lo dice che non possa venire negativa la sommatoria di termini positivi?
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si ha
$ $ \frac 1 n \int_1^n e^{\frac{x-1}{n}}dx \leq \frac 1 n \sum_{k=1}^n e^{k/n} \leq \frac 1 n \int_1^n e^{x/n}dx$ $ per cui il limite è e-1
$ $ \frac 1 n \int_1^n e^{\frac{x-1}{n}}dx \leq \frac 1 n \sum_{k=1}^n e^{k/n} \leq \frac 1 n \int_1^n e^{x/n}dx$ $ per cui il limite è e-1
[url=http://davidpet.interfree.it/renato.html:3r47vsho]Stamattina hanno suonato alla porta. Sono andato ad aprire e...[/url:3r47vsho]
[url=http://davidpet.interfree.it/jabber/index.html:3r47vsho]Guida introduttiva a Jabber[/url:3r47vsho]
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piu'semplicemente
$ $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \exp \frac{k}{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(e^\frac{1}{n}\right)^k$ $$ $=\frac{1}{n} \frac{e^\frac{1}{n}-e\cdot e^\frac{1}{n}}{1-e^\frac{1}{n}}$ $ $ $= e^\frac{1}{n}(1-e)\frac{\frac{1}{n}}{1-e^\frac{1}{n}}$ $ $ $= (e-1) e^\frac{1}{n} \frac{\frac{1}{n}}{e^\frac{1}{n}-1}$ $
facendo tendere n a infinito si ottine $ ~e-1 $
$ $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \exp \frac{k}{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(e^\frac{1}{n}\right)^k$ $$ $=\frac{1}{n} \frac{e^\frac{1}{n}-e\cdot e^\frac{1}{n}}{1-e^\frac{1}{n}}$ $ $ $= e^\frac{1}{n}(1-e)\frac{\frac{1}{n}}{1-e^\frac{1}{n}}$ $ $ $= (e-1) e^\frac{1}{n} \frac{\frac{1}{n}}{e^\frac{1}{n}-1}$ $
facendo tendere n a infinito si ottine $ ~e-1 $
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