limite all'infinito

[piazza88]

$ 8>3 $ (n=3)
e poi,
$ n^2>3n $ se n>2, quindi se $ 2^n>(n-1)n/2 $
allora
$ 2^{n+1}=2\cdot2^n>2\cdot(n-1)n/2=n(n-1)>n(n+1)/2 $ (grazie alla disug col 3).

Cmq un esponenziale è sempre definitivamente più grande di un polinomio.

prima di tutto che "$ n^2>3n $ se n>2" mi lascia perplesso, perchè e.g. per n=3 è ancora falsa; che un esponenziale sia definitivamente più grande di un polinomio era ciò che chiedevo all'inizio di dimostrare senza usare Taylor; cmq grazie a EaristeG per il passaggio mancante dimostrato. In conclusione la risposta più semplice al mio quesito iniziale mi sembra quella di Marco

[MdF]

Cmq un esponenziale è sempre definitivamente più grande di un polinomio.

prima di tutto che "$ n^2>3n $ se n>2" mi lascia perplesso, perchè e.g. per n=3 è ancora falsa; che un esponenziale sia definitivamente più grande di un polinomio era ciò che chiedevo all'inizio di dimostrare senza usare Taylor

A noi, villani ingegneri di provincia, hanno insegnato che in maniera definitiva esiste una scala di infiniti che, dimostrata una volta, vale per sempre.
Riporto un esempietto, quello che dimostra che un esponenziale è maggiore di un polinomio o viceversa col Criterio del Rapporto:
$ $ \lim_{n\to+\infty} \frac{a^n}{n^\alpha} $ $ con $ $a>1$ $ e $ $\alpha>0$ $
$ $ \lim_{n\to+\infty} \frac{a^{n+1}}{(n+1)^\alpha}\cdot \frac{n^\alpha}{a^n}= $ $
$ $= \lim_{n\to+\infty} \frac{a^n\cdot a}{a^n}\cdot \frac{n^\alpha}{(n+1)^\alpha}=a $ $
ma, visto che $ $a>1$ $ per ipotesi, allora il limite del rapporto iniziale è $ $+\infty$ $ e $ $a^n$ $ è un infinito di ordine superiore rispetto al polinomio.
Ti soddisfa? I puristi approvano? (non l'ho inventata io, eh )

[EvaristeG]

per n=3 vale l'uguaglianza ... se vuoi posso cambiare tutti i maggiore con maggiore o uguale ... capire cmq che una parabola cresce non è impresa folle.