Figlie e paletti

[MindFlyer]

Questo accostamento ha un che di Freudiano...

Comunque, mi hanno raccontato un quesito della gara Bocconi di oggi, che parlava di un tizio che deve spartire un terreno triangolare tra 10 figlie e x figli. Allora pianta un paletto in ogni vertice del terreno, e altri paletti all'interno. Poi unisce i paletti con delle staccionate rettilinee, in modo che 2 staccionate non s'intersechino, che non sia più possibile aggiungere staccionate senza farle intersecare, e che da ogni paletto parta lo stesso numero di staccionate. Alla fine, le porzioni di terreno che si formano sono tante quanti figli+figlie.

Quanti figli ha il tizio?

Ora non m'interessa che postiate 37 immagini da 1 MB ciascuna con il disegnino della configurazione, voglio che dimostriate che la soluzione è unica e troviate x.

[giumazz]

Io ho scritto qualcosa qui: http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... days=0&pos

[SkZ]

sia $ ~f $ numero delle frazioni di terreno, $ ~p $ numero dei paletti, $ ~s $numero degli steccati, $ ~n $ numero di steccati che partono da un paletto

il numero delle frazioni e' $ ~f=2(p-3)+1 $ (ogni volta che aggiungi un paletto aumentano di 2)
il numero degli steccati e' $ $s=\frac{pn}{2}=\frac{3f+3}{2}$ $ (le prima formula e' ovvia, la seconda e' dovuta al fatto che ci sono 3 staccati per frazione e vengono contati due volte tranne quelli del bordo esterno)
sostituisci e ottieni
$ $\frac{pn}{2}=\frac{3[2(p-3)+1]+3}{2}=\frac{6(p-2)}{2}$ $
$ $n=\frac{6(p-2)}{p}$ $
ergo $ ~p\in\{1,2,3,6,12\} $

e io ho dimenticato il -3 nel numero di frazioni

[fph]

Tre sole parole: sviluppo dell'icosaedro?

[MindFlyer]

il numero delle frazioni e' $ ~f=2(p-3)+1 $

Non capisco il perché di questa, non mi sembra ben motivata.

@fph: Sì.

@giumazz: Ok per la dimostrazione, non l'avevo vista nell'altro thread. Puoi riscriverla qui un po' più verbosamente?

[SkZ]

i paletti li puoi aggiungere uno alla volta e noti che ogni volta che aggiungi un paletto lo puoi collegare solo ai paletti che delimitano il tringolo che lo continene.
quindi dove prima vevi 1 triangolo, ora ne hai 3, quindi aggiungendo un paletto aumenti il numero di triangoli di 2.
all'inizio hai 3 paletti e 1 triangolo, quindi ...

[MindFlyer]

i paletti li puoi aggiungere uno alla volta e noti che ogni volta che aggiungi un paletto lo puoi collegare solo ai paletti che delimitano il tringolo che lo continene.
quindi dove prima vevi 1 triangolo, ora ne hai 3, quindi aggiungendo un paletto aumenti il numero di triangoli di 2.
all'inizio hai 3 paletti e 1 triangolo, quindi ...

Questo non è vero. O meglio, è vero per particolari triangolazioni, ma non per tutte.
Per accettare questo come dimostrazione del caso generale, devi usare fatto che la cardinalità di una triangolazione è invariante rispetto alla scelta dei lati, cosa che in ultima istanza si basa sul Teorema di Eulero.