Piramide e suo tronco (Mock AIME)

[Ponnamperuma]

In preda al rammarico per aver divorato l'occasione di qualificarmi a Cesenatico per via di 18 punti di errori, uno più idiota dell'altro, posto questo problemino, sicuramente non difficile, preso da una prova Mock AIME (che vuol dire Mock?!) di T.Mildorf...

ABCD, un rettangolo con AB = 12 and BC = 16, è base di una piramide P di altezza 24. Un piano parallelo a ABCD interseca P, dividendola in un tronco F e in una piramide più piccola P'. Sia X il centro della sfera circoscritta a F, e sia T l'apice di P. Se il volume di P è 8 volte quello di P', allora il valore di XT può essere espresso come m/n , con m ed n interi positivi primi fra loro. Calcolare m+n.

Suppongo si debba chiedere agli esperti di astenersi...

Ciao!

[Zok]

[OT]
Mock letteralmente significa burla, imitazione, cosa finta...
Un mock AIME credo quindi sia una simulazione della gara, non la gara ufficiale...
[/OT]

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

se il volume di P' è 1/8 di P essendo simile è P il rapporto fra le altezze è 2.
Inoltre il lato obliquo e' 26 (terna multipla di 5, 12,13)
Chiamiamo M il punto medio di TA, O il centro del rettangolo e N il punto medio di DA si ha che l'intersezione fra la perpendicolare a AT per N e TO è il centro X e inoltre NXT è simile a TCO quindi ci si calcola l'altezza del triangolo isoscele DAX e di conseguenza il lato obliquo che è il raggio.
Una volta ottenoto il raggio si trova XO con pitagora e quindi TX per differenza.

$ \displaystyle NX=\frac{13 \cdot 3 \cdot 5}{8 \cdot 12}= \frac{65}{8} $
$ \displaystyle R^2 = {\frac{65}{8}}^2 +{\frac{13}{2}}^2 = \frac{6929}{64} $
$ \displaystyle OX = \sqrt{\frac{6929}{64} - 10^2} = \frac{23}{8} $
$ \displaystyle XT = 24 - \frac{23}{8} = \frac{169}{8} = \frac{13^2}{2^3} $

ciao!

[Ponnamperuma]

[Re:OT]
Giusto, avevo concluso la stessa cosa, ma non ero sicuro, pensavo fosse una sigla di qualcosa... Si vede che la mia ricerca svogliata della parola non produsse risultati per via di una deficienza del vocabolario adoperato!...
[/Re:OT]

[salva90]

$ \sqrt{5^2 + 24^2} = 25 $
ciao!

co-co-cosa??? che cavolo dici ?
e cmq aveva detto

astenersi esperti

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Ops ero un po di fretta, ora ho corretto e ho fatto i conti

e cmq aveva detto

astenersi esperti

Non mi ritengo molto "esperto"

[salva90]

Ops ero un po di fretta, ora ho corretto e ho fatto i conti

e cmq aveva detto

astenersi esperti

Non mi ritengo molto "esperto"

in geometria lo sei

[Ponnamperuma]

La mia soluzione ha un punto un po' oscuro, che vorrei qualcuno (anche esperto! ) mi chiarisse... suppongo sia una banalità, ma mi sfugge...

Chiamando A,B,C,D gli angoli del rettangolo di base e A',B',C',D' quelli del rettangolo di base della piramidina, dico che BB'D'D è un trapezio isoscele, poiché F è toccato dalla sfera in quei punti e, quindi, il poligono si inscrive in una circonferenza.
Il "buco" nel mio ragionamento è che non so dimostrare che sezionando una sfera con un piano qualsiasi si ottiene sempre una circonferenza, piuttosto che non un'altra curva, come succede sezionando il cono...
Fissato questo bug, è tutto a posto...

Grazie per l'aiuto!...

P.S.: La risposta di Gabriel è naturalmente giusta!...

[pic88]

Beh, ogni punto del contorno della sezione ha distanza fissa dal centro della sfera. Proiettiamo il centro della sfera sul piano e applichiamo pitagora.