dimostrazione esercizio semifinale cesenatico

[Alex90]

Ciao raga, sono nuovo del forum ed avrei una domanda da farvi

Non so quanti di voi abbiano partecipato alla gara a squadra di cesenatico di quest'anno, volevo però chiedervi una delucidazioni su questo esercizio

14. La terza prova
Finalmente la prova pratica! Numeruto può dare il meglio di sè; tuttavia per riuscire perfettamente nella difficile tecnica della trasformazione, deve impastare la sua forza magica secondo delicatissimi equilibri.
I livelli di forza magica utilizzabili sono tutti gli interi positivi a per i quali il polinomio x^2−ax+4a ha solo radici intere positive.
Se Numeruto eseguirà bene la tecnica, il suo voto all’esame sarà la somma di tutte le radici distinte che sono ottenibili in questo modo. Quanto potrà prendere al massimo?

La soluzione è più o meno complicata ma si può comunque capire che l'equazione ha radici intere positive per a = 16 e a = 25, ma è possibile dimostrare che non ci altri valori che permettono di soddisfare le condizioni richieste dall'esercizio?

Grazie in anticipo per le risposte

[edriv]

$ ~ x^2-ax+4a $ ha radici intere, come ben noto per la formula quadratica, se e soltanto se $ ~ \sqrt{a^2-16a} $ è un quadrato perfetto. Poi, essendo la somma delle radici a e il prodotto 4a, entrambi positivi, le radici se intere sono anche positive.

Quindi basta controllare le soluzioni di $ ~ a^2-16a = k^2 $. Per risolvere questo, completiamo il quadrato e fattorizziamo: $ ~ a^2-16a + 64 = k^2 + 64 $, $ ~ (a-8)^2 = k^2 + 64 $, $ ~ (a-8+k)(a-8-k) = 64 $.

Ora, i due fattori sulla destra sono coppie di divisori positivi di 64, con la stessa parità, il cui prodotto è 64, e quello più a destra è maggiore o uguale di quello a sinistra. Quindi le coppie di fattori possono essere (32,2), (16,4), (8,8 ).
Per ciascuna coppia trovate il valore di a. La somma delle radici è a, quindi si finisce.

Io alla semifinale c'ero, e al primo tentativo ho sbagliato questo problema perchè con (8,8 ) le due radici coincidono, ma bisogna contarle una sola volta, quindi bisogna sommare a/2 e non a

[salva90]

Letta ora la risp di edriv, c'ero anche io e ho fatto diversamente (almeno mi sembra )

fissa una radice intera r ed esplicita a in funzione di essa:

$ (r-4)a=r^2 $
$ a=\frac{r^2}{r-4} $
con una semplice divisione tra polinomi trovi che $ r-4|16 $, da cui trovi i diversi valori per a, li provi e guardi se effettivamente danno radici intere positive o no...

[giove]

Eh eh, anch'io c'ero e l'ho fatto!

Precisamente così:

$ a (a-16) $ deve essere un quadrato perfetto, con a>0 per quanto detto prima.
Se a è dispari i due fattori sono primi tra loro e quindi a è un quadrato e perché lo sia anche (a-16) deve essere a=25.
Se a è pari lo scrivi come 2b e semplifichi: $ b(b-8) $ quadrato perfetto.
Se b dispari (stesso ragionamento) b=9 -> a=18.
Se b pari, b=2c, $ c(c-4) $ quadrato perfetto.
Se c dispari c=4 -> a=16 (siccome questa soluzione si trova nel caso c dispari mentre c è pari, comunque è una soluzione che si trova anche dopo).
Se c pari, c=2d, $ d(d-2) $ quadrato perfetto.
Se d dispari non ci sono soluzioni, se d pari d=2 -> a=16.

L'importante è averlo risolto