Una sfera su un piano

[BMcKmas]

Ecco come la vedo io:
Un minimo c'è, e se potesse rotolare SOLO in questo secondo modo sarebbe stabilissimo. Il punto è che questo minimo non è una posizione di equilibrio (nemmeno instabile) per quanto riguarda il primo movimento. Questo perchè non si trova sulla verticale che passa per il punto d'appoggio. ........Ciao ciao

Avevo anch'io pensato all'effetto 3D e risolto il problema tendo conto che determinare la stabilità nella direzione di massima pendenza del piano d'appoggio fosse sufficiente considerando come moti possibili solo quelli di rotolamento.
Il discorso dello spin della sfera attorno all'asse normale infatti non mi convince molto. Esiste la necessità di conservare il momento angolare attorno all'asse normale al contatto: quali sono le forze che potrebbero far ruotare la sfera?

Siccome la stabilità allo spin è garantita dalla conservazione del momento angolare, non mi sembra che tale moto sia possibile, e quindi tenderei a confermare la mia soluzione.

Cosa ne pensate?

ciao

[SkZ]

dipende sempre se consideri condizioni ideali o reali
nel primo caso la sfera routa solo attorno ad un asse paralleo al suolo per l'azione del campo gravitazionale, nel secondo a causa di vari fattori esterni (irregolarita' nel piano, etc) puo' iniziare a rotolare anche attorno ad altri assi.

cmq quando si parla di stabilita' si considera se il sistema, spostato di poco dall'equilibrio, torna o meno nella posizione di partenza. quindi non e' una posizione di equilibrio stabile.

[memedesimo]

allora, il disegno appena ho un po' di tempo cercherò di metterlo...
per quanto riguarda la questione in modo "intuitivo": supponiamo di avere la sfera in un piano orizzontale, in equilibrio stabile.
supponiamo che il centro di massa sia abbastanza in basso rispetto al centro della sfera per facilitare l'immaginazione.
adesso incliniamo di poco poco e lentamente tale piano orizzontale di un angolo molto piccolo.
a me sembra abbastanza evidente pensandoci (posso ovviamente sbagliarmi) che la sfera si troverà ancora in equilibrio stabile, in tutte le direzioni!

Più che con considerazioni energetiche io considererei il momento rispetto al punto di contatto col terreno!

appena ho tempo vi formulo una risposta decente...scusate!

[3C273]

quali sono le forze che potrebbero far ruotare la sfera?

La gravità

E se applico un torque il momento angolare non è tenuto a conservarsi!
La forza peso applicata a $ G_S $ non dà torque intorno all'asse normale al piano inclinato, questo è vero, ma infatti $ G_S $ è una posizione di equilibrio. Però questo equilibrio non è stabile, infatti se mi discosto dalla posizione di equilibrio il sistema non torna alla posizione di equilibrio, perchè a quel punto il torque c'è e fa ruotare la sfera intorno quell'asse...

[...]adesso incliniamo di poco poco e lentamente tale piano orizzontale di un angolo molto piccolo.
a me sembra abbastanza evidente pensandoci (posso ovviamente sbagliarmi) che la sfera si troverà ancora in equilibrio stabile, in tutte le direzioni!

Ecco, questa osservazione mi lascia ancora un po' perplessa... però più ci penso e più sono convinta che la sfera non può stare in equilibrio stabile... se il centro di massa può abbassarsi lo fa!

...Magari ora faccio 2 conti invece di chiacchierare e basta
Bye

[BMcKmas]

quali sono le forze che potrebbero far ruotare la sfera?

La gravità

Bye

Non credo proprio!
Detto C il punto di contatto il momento risultante è orizzontale e perpendicolare a CG!
Secondo il tuo ragionamento allora sarebbe di equilibrio indifferente anche una semisfera appoggiata sul fondo di una supefice convessa: cosa le impedirebbe di ruotare su se stessa?

Continuo a ritenere che il moto di spin non sia possibile senza altri interventi esterni.

ciao

[BMcKmas]

dipende sempre se consideri condizioni ideali o reali
........ vari fattori esterni (irregolarita' nel piano, etc) puo' iniziare a rotolare anche attorno ad altri assi.

per carità, lasciamo stare tutti questi effetti che renderebbero il problema non ben definito!

[3C273]

quali sono le forze che potrebbero far ruotare la sfera?

La gravità

Bye

Non credo proprio!
Detto C il punto di contatto il momento risultante è orizzontale e perpendicolare a CG!

Ma infatti io non ho mai detto che la posizione non sia di equilibrio! Non c'è niente che fa ruotare la sfera intorno a quell'asse! Però quell'equilibrio non è stabile, e infatti applicando una piccola perturbazione (cioè spostando di poco la sfera dalla posizione di equilibrio) c'è una componente del momento che fa ruotare la sfera intorno a quel famoso asse. Cioè l'equilibrio è instabile.

Secondo il tuo ragionamento allora sarebbe di equilibrio indifferente anche una semisfera appoggiata sul fondo di una supefice convessa: cosa le impedirebbe di ruotare su se stessa?

No, perchè in questo caso se faccio una piccola perturbazione non compare un torque. Piuttosto, ho l'impressione che secondo il tuo ragionamento sarebbe in equilibrio stabile una sfera appoggiata in cima ad una superficie con... (ma non è questa quella convessa? boh!): dopotutto la forza peso non produce torque e quindi la sfera non può rotolare, no?

[BMcKmas]

Non mi sono spiegato bene, scusa.
Volevo dire che, variando leggermente la posizione dall'equilibrio per testarne la stabilità, non mi sembra che il peso (e la reazione di contatto) producano un momento che tende a generare un effetto di spin attorno all'asse CO (con O centro della sfera) come tu sostieni, ma un momento che fa rotolare la sfera facendola girare attorno a un asse normale alla congiungente CG.

Poi, nel contro-esempio, volevo dire una sfera completa nel fondo di una scodella...

ciao

[memedesimo]

Ragazzi, a questo punto ci vuole la prova sperimentale: posso assicurarvi che il mio mouse rovesciato, che è sicuramente assimilabile a una semisfera (!), sta in equilibrio stabile su un piano inclinato! e anche altri oggetti analoghi che ho trovato per la casa. quindi secondo me il fatto che l'equilibrio sia stabile è assodato .



Dal mio disegno sembrerebbe che il momento torcente tende sempre a fare tornare la sfera nella posizione di equilibrio, ergo l'equilibrio è stabile, secondo me.

Mattia

[3C273]

@BMcKmas: Touchè!!! Mi sa che hai ragione!
@memedesimo: ottima idea! Innanzitutto ho fatto anch'io una prova sperimentale (altrimenti non ci avrei mai creduto!! )... e anche la mia semisfera sta in equilibrio stabilissimo!
Ora, io i conti non li avevo ancora fatti, ed evidentemente nemmeno un disegnino fatto bene... visto che il mio disegnino mi portava a conclusioni sbagliate! Adesso rifaccio per bene il disegno anch'io, ma se è vero quello che dici tu e cioè

non mi sembra che il peso (e la reazione di contatto) producano un momento che tende a generare un effetto di spin attorno all'asse CO (con O centro della sfera) come tu sostieni, ma un momento che fa rotolare la sfera facendola girare attorno a un asse normale alla congiungente CG

allora si spiega tutto, perchè l'asse CG non passa per il punto di contatto, e quindi la semisfera per ruotare intorno a quell'asse dovrebbe superare l'attrito contro il piano, che ovviamente c'è perchè altrimenti non staremmo qui a chiederci se la sfera può stare in equilibrio! E' possibile che sia questa la spiegazione? Cosa ne dite?
Ho provato sperimentalmente a forzare la rotazione intorno a CG e sapete che succede? Che la sfera comincia a scivolare giù... scivolare però, non ruotare, e infatti per forzare la rotazione ho dovuto superare l'attrito statico, che è diventato dinamico, e a quel punto la semisfera ha cominciato a scivolare lungo il piano!
Domani però riguardo bene il disegnino... voglio arrivare allo stesso risultato di BMcKmas altrimenti non sono soddisfatta! E la prossima volta farò più attenzione coi disegnini!
Comunque, bel problema e bella discussione!
Ciao!

[3C273]

Ho cambiato idea di nuovo!!! Non sono più d'accordo con te, BMcKmas!
L'idea migliore resta comunque quella di memedesimo... PROVAREEEEEE!
Allora, dati di fatto:
1) la semisfera STA in equilibrio, abbiamo provato!
2) ...
altri dati di fatto non me ne vengono in mente! Però ho rifatto bene il disegno, e insisto che secondo me se sposto il baricentro dalla posizione di equilibrio c'è un torque che tende a farla ruotare intorno all'asse CENTRO-PTO_CONTATTO. Ok, mi spiego meglio: partiamo dal presupposto che sta sfera può ruotare solo
a) in modo naturale giù per il piano, avete capito cosa intendo no?
b) intorno all'asse CENTRO-PTO_CONTATTO.
Altre possibilità non ce n'è perchè altrimenti sarebbe bloccata dall'attrito (quello che dicevo nel post precedente).
Resta da capire se ruota o no nel modo (b): altri assi secondo me non ha senso considerarne. Ora, qualunque sia l'asse intorno a cui un eventuale torque tende a far girare la sfera, a me interessa sapere solo se c'è una componente che lo fa girare intorno all'asse CENTRO-PTO_CONTATTO. E secondo me c'è, perchè se sposto il baricentro dalla posizione di equilibrio considerata, la forza peso applicata al baricentro NON è parallela alla distanza tra il baricentro e l'asse CENTRO-PTO_CONTATTO (e questo torque non la fa tornare al punto di equilibrio, anzi la fa ruotare "di più"). Non è vero questo? Sì dai! E se è vero questo è vero anche tutto il mio ragionamento dei post precedenti, baricentro che si muove su una circonferenza obliqua, il fatto che può scendere e quindi deve farlo... "eppur NON si muove" ( ).
Ora, perchè questa sfera se ne sta perfettamente in equilibrio? La mia proposta di soluzione è questa: ATTRITO ATTRITO ATTRITO! Per quanto possiamo ipotizzare che la sfera si appoggi sul piano in un punto, fisicamente non può essere così... e l'attrito non dipende dalla superficie d'appoggio... e per ruotare intorno all'asse (che non nomino più, tanto è sempre lui, comunque prima ho usato il copia-incolla, oddio sto impazzendo del tutto) - dicevo, per ruotare intorno all'asse incriminato deve superare l'attrito statico... ma non può! Quindi secondo me una sfera ideale che si appoggia veramente in un punto non sta in equilibrio...
...ma ha senso tutto ciò? ditemelo voi, adesso non ce la faccio più a pensare alla sfera! Ciao!

Comunque, bel problema e bella discussione!

ERRATA CORRIGE: non è vero che è un bel problema!!! E' un bruttissimo problema!!! Mi sta facendo impazzire!!!

[memedesimo]

Non so più cosa rispondere, effettivamente 3C273 sembrerebbe avere ragione su tutto nell'ultimo post...se non altro perchè è davvero simpaticissima, mi ha fatto ridere un sacco

L'unica cosa che posso suggerire è che facendo ruotare la sfera intorno al famoso asse, si crei si un momento che fa ruotare la sfera (ma questo è contrastato dall'attrito) e in più se ne crei un altro intorno al punto di contatto col terreno che riporta la sfera all'equilibrio, in qualche modo complicato....

Ci avviciniamo sempre di più a motivi occulti ed esoterici per spiegare l'equilibrio della maledetta semisfera!
Nei prossimi post subentrerà la metafisica

[BMcKmas]

Volevo semplicemente dire che ho trovato qualcosa di giusto nelle ultime osservazioni di 3C273 e ho qualche idea in proposito, ma non ho proprio il tempo di scriverla.
Non dispero però di trovarlo nei prossimi giorni.
A presto quindi....

[gennarob86]

sono daccordo con gran parte delle vostre ultime osservazioni... soprattutto con memedesimo che ha iniziato a riflettere sul fatto che non vede il motivo di perchè la sfera non dovesse eessere in equilibrio. ecco le mie conclusioni:

- la semisfera di densità costante, ipotizziamola di raggio 1, ha il baricentro a 1-0,378=0,625 da terra.

-baricentro sufficientemente basso, da far restare la sfera in equilibrio stabilissimo, in quanto il vettore reazione vincolare e il vettore forza peso applicato nel baricentro, costituiscono una "coppia raddrizzante" il cui momento consente proprio l'equilibrio suddetto.

-quindi inclinando un po il piano, nessuno di noi vede per quale motivo tale equilibrio debba scomparire!!

-tuttavia nessuno ha acnora capito quale siano le relazioni matematiche esatte che determinino tale equilibrio, e quali siano i limiti, ad esempio di angolazione

io so solo che:
-dobbiamo fare a priori l'ipotesi di forza attrito statico illimitata (cioè presente qualunque si al'angolazione e le forze agenti, ovvero infinita) , perchè se non ci fosse attrito statico, la semisfera iniziarebbe non a rotolare, ma a scivolare appena inclinato il piano.

-la rotazione su un asse passante per "punto di appoggio-centro di massa" che VOI AVETE OSSERVATO SPERIMENTALMENTE in realtà nasce dalla non sufficiente forza di attrito statico, che consente alla semisfera di scivolare lentamente verso giu, ruotando (perchè si vengono a crare momenti mentre essa scende)

-SE LA SEMISFERA NON SCIVOLASSE VERSO GIU E AVESSE SUFFICIENTE ATTRITO STATICO NON RUOTEREBBE MAI E POI MAI, PERCHè NON SONO PRESENTI FORZE DEL GENERE, E POI PERCHè CONTRADDIRREMO ADDIRITTURA AL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA (IN PRATICA SI TRATTEREBBE DI UN MOTO PERPETUO!! LA ROTAZIONE CHE OSSERVATE è DOVUTA AL FATTO CHE LA SEMISFERA SCENDE DI QUOTA).

-concludo con un ultima cosa: la semisfera per perdere lo status di EQUILIBRIO, deve essere in posizione OLTRE LA VERTICALE, infatti se essa si trova in posizione esattqamente verticale, è presente una bella coppia di braccio 3/8r che me la riporta a posto.

-allora per fare rotolare la semisfera, l'angolazione del piano deve essere tale da fare inclinare la semisfera oltre la sua verticale, e oltre sufficientemente da permettere di far formare ai 2 vettori del sistema, reazione vincolare e forza g nel centro di massa, una coppia "ribaltante", cioè opposta a quella di prima.

[BMcKmas]

Finalmente ½ ora libera! Prima che proliferino spiegazioni fantasiose e metafisiche, provo a abbozzare una possibile interpretazione.
Chiamo: C: punto di contatto, G baricentro, O centro della sfera con CO=R e OG=r

1) Riconosco che 3C273 ha ragione: se un agente esterno produce una rotazione della sfera attorno all'asse CO (moto non impedito dal vincolo di contatto puntiforme) il baricentro G si abbassa. Questo significa che la forza di gravità è instabilizzante per quel tipo di moto. La cosa può essere vista anche staticamente perché il momento generato rispetto a C dal peso proprio applicato in G ha una componente (di spin) in direzione CO. Pertanto in un ideale contatto puntiforme con attrito la condizione di equilibrio sembrerebbe instabile.
Tuttavia il senso comune e alcune prove empiriche sembrano non confermare questo risultato. Per esperienza so che quando questo avviene spesso è conseguenza dell’eccessiva semplificazione del modello fisico adottato, ciò mi ha indotto alle seguenti considerazioni.


2) Nella mia prima soluzione non avevo in effetti preso in considerazione questa possibilità di moto, assumendo implicitamente che gli effettivi gradi di libertà della sfera in contato sul piano non comprendessero lo spin attorno all'asse CO, ma solo un rotolamento (ovvero una generica rotazione attorno a un asse passante per C e giacente sul piano di contatto). Su questa ipotesi (che devo confessare mi viene più dal senso comune che dall’esame generale del problema) però non ho cambiato idea e lo giustifico con i seguenti punti.

Supponiamo di spostare la sfera dalla condizione di equilibrio che avevo identificata come stabile, producendo uno stesso piccolo angolo $ \theta $ di spin e di rotolamento:
a) non è difficile vedere che per piccoli $ \theta $ il momento (stabilizzante) che tende a contrastare il rotolamento è molto maggiore di quello (instabilizzante) che tende a produrre lo spin
b) in una modellazione più realistica del fenomeno (necessaria per interpretare l'esperimento fatto da alcuni che sembra in effetti non evidenziare il moto di spin), è necessario considerare che la zona di contatto in C ha dimensioni finite (per quanto piccole)
c) gli effetti dell’attrito non possono essere trascurati perché diversamente la sfera scivolerebbe e il problema non avrebbe senso.

Non è difficile vedere che assumendo per l'attrito il modello di Coulomb e per la zona di contatto il modello di Hertz, il lavoro che viene dissipato per produrre un rotolamento di un piccolo angolo $ \theta $ è esprimibile come $ L_{rot}=k_{rot} (1-\cos(\theta)) $, mentre l’equivalente lavoro dissipato per produrre uno spin dello stesso angolo è $ L_{spin}=k_{spin} \theta $. Si osserva quindi che: $ L_{rot}/ L_{spin}=k \theta $.

Si può quindi concludere che la tendenza ‘naturale’ della sfera, se spostata di poco dalla posizione di equilibrio, è quella di rotolare in modo da ristabilire l’equilibrio, piuttosto che spinnare sotto l’effetto della componente conseguente di momento.

Possiamo dirlo anche in forma più fisica: l’inevitabile attrito che necessariamente si deve manifestare rende energeticamente possibile il rotolamento mentre contrasta lo spin per piccoli angoli di perturbazione. Questo fatto, associato alla circostanza che la componente del momento che induce il rotolamento è preponderante su quella che induce lo spin, fa il resto. Quindi penso che la sfera tenderà a rotolare per riportare il baricentro sopra il punto di contatto per ogni piccolo spostamento dalla posizione di equilibrio stabile in qualunque direzione tale spostamento sia prodotto.

Credo che tutto ciò giustifichi l’evidenza che la sfera non mostri spin negli esperimenti fatti, e quindi che l’effetto inibente dell’attrito per il moto di spin possa essere addotto come giustificazione del fatto che l’equilibrio osservato, nei limiti indicati, sia stabile e che pertanto sia lecito considerare il solo moto di rotolamento nell’analisi di stabilità.

Sono in attesa di vostri commenti


Ciao a tutti