Scusate ma non sono riuscito a scriverlo in termini più matematici
Ma il baricentro non cambia?
Ma il baricentro non cambia?
Su ognuno dei vertici di un triangolo equilatero ABC sta una lumaca. Ponendo che le lumache viaggiano alla stessa velocità e partono nello stesso momento e sapendo che la lumaca sul vertice A deve raggiungere la lumaca del vertice B che deve raggiungere la lumaca del vertice C che a sua volta deve raggiungere la lumaca del vertice A, dimostrare che fermando le lumache nello stesso momento lungo il loro tragitto e unendo i punti su cui si trovano si ottiene un triangolo che ha lo stesso baricentro del triangolo ABC.
Scusate ma non sono riuscito a scriverlo in termini più matematici
Scusate ma non sono riuscito a scriverlo in termini più matematici
Scusate se non posto la figura...
A'B'C' è equilatero in quanto i triangoli AA'C',BB'A' e CC'B' sono congruenti per il I criterio. Detto O il centro di ABC avremo che i triangoli BOB', COC' e AOA' sono congruenti sempre per il primo criterio (ogni angolo formato dalla congiungente da un vertice al centro è pari a 30° in quanto parte di mediana, altezza e bisettrice), da cui si nota che O è il centro anche di A'B'C', quindi è anche il suo baricentro.
EDIT: Mi sa che non era questo il problema vero?
A'B'C' è equilatero in quanto i triangoli AA'C',BB'A' e CC'B' sono congruenti per il I criterio. Detto O il centro di ABC avremo che i triangoli BOB', COC' e AOA' sono congruenti sempre per il primo criterio (ogni angolo formato dalla congiungente da un vertice al centro è pari a 30° in quanto parte di mediana, altezza e bisettrice), da cui si nota che O è il centro anche di A'B'C', quindi è anche il suo baricentro.
EDIT: Mi sa che non era questo il problema vero?
Ultima modifica di Alex89 il 07 giu 2007, 17:42, modificato 2 volte in totale.
Eheh il problema è che A',B',C' non sono su AB,BC,CA. Magari mi sono spiegato male (anzi di sicuro mi sono spiegato maleEvaristeG ha scritto:Beh, in quanto a scriverlo...
Sia ABC un triangolo equilatero e siano A',B',C' su AB, BC, CA tali che
$ AA'=BB'=CC' $
Dimostrare che il baricentro di ABC e quello di A'B'C' coincidono.
) comunque le lumache non si muovono lungo i lati dei triangoli perchè altrimenti non si incontreranno mai, dovrebbero tendere ad andare verso il baricentro del triangolo ABC (almeno credo ma non l'ho risolto).Spero abbia capito cosa intendo.
E mi sa che anche te hai risolto con i 3 punti sui lati del triangolo ABC.Alex89 ha scritto:EDIT: Mi sa che non era questo il problema vero?
Dovrebbe essere più difficile, magari ci vuole anche qualche conoscenza di geometria analitica perchè entrano in gioco curve e si puo' considerare i punti come cordinate però è meglio che non parlo perchè le mie conoscenze sono quelle di un alunno di 2° superiore.
Sembra solo un fatto di simmetria: dato un triangolo equilatero ABC, indichiamo con f(ABC) il baricentro del triangolo formato da tre lumache a,b,c che si inseguono, dove a parte da A, b parte da B, c parte da C, dopo il tempo t. (Supponiamo di aver ben definito cosa vuol dire questa cosa) (fissiamo t prima di definire f)
Ora confrontiamo f(ABC) e f(BCA). Siccome anche nella situazione di f(BCA) abbiamo una lumaca sul vertice A che insegue quella sul vertice B, una su B che insegue quella di C, una su C che insegue quella di A, concludiamo che f(ABC) = f(BCA).
Osserviamo inoltre che, siccome il percorso delle lumache dipende solo dalle loro reciproche distanze iniziale, se t è un'isometria del piano, f(t(A)t(B)t(C)) = t(f(ABC)).
Ora, consideriamo la rotazione che manda ABC in BCA.
Avremo t(f(ABC)) = f(t(A)t(B)t(C)) = f(BCA) = f(ABC), in particolare f(ABC) = t(f(ABC)), quindi f(ABC) è un punto fisso dell'isometria. Ma l'unico punto fisso di questa rotazione è il centro del triangolo
Ora confrontiamo f(ABC) e f(BCA). Siccome anche nella situazione di f(BCA) abbiamo una lumaca sul vertice A che insegue quella sul vertice B, una su B che insegue quella di C, una su C che insegue quella di A, concludiamo che f(ABC) = f(BCA).
Osserviamo inoltre che, siccome il percorso delle lumache dipende solo dalle loro reciproche distanze iniziale, se t è un'isometria del piano, f(t(A)t(B)t(C)) = t(f(ABC)).
Ora, consideriamo la rotazione che manda ABC in BCA.
Avremo t(f(ABC)) = f(t(A)t(B)t(C)) = f(BCA) = f(ABC), in particolare f(ABC) = t(f(ABC)), quindi f(ABC) è un punto fisso dell'isometria. Ma l'unico punto fisso di questa rotazione è il centro del triangolo
Non ti so dire se è giusta o sbagliata però sulla fiducia...GIUSTAedriv ha scritto:Sembra solo un fatto di simmetria: dato un triangolo equilatero ABC, indichiamo con f(ABC) il baricentro del triangolo formato da tre lumache a,b,c che si inseguono, dove a parte da A, b parte da B, c parte da C, dopo il tempo t. (Supponiamo di aver ben definito cosa vuol dire questa cosa) (fissiamo t prima di definire f)
Ora confrontiamo f(ABC,t) e f(BCA,t). Poichè nel problema nessuna lumaca ha un privilegio, è ovvio che f(ABC) = f(BCA).
Osserviamo inoltre che, siccome il percorso delle lumache dipende solo dalle loro reciproche distanze iniziale, se t è un'isometria del piano, f(t(A)t(B)t(C)) = t(f(ABC)).
Ora, consideriamo la rotazione che manda ABC in BCA.
Avremo t(f(ABC)) = f(t(A)t(B)t(C)) = f(BCA) = f(ABC), in particolare f(ABC) = t(f(ABC)), quindi f(ABC) è un punto fisso dell'isometria. Ma l'unico punto fisso di questa rotazione è il centro del triangolo
Va be' a parte gli scherzi adesso devo andare ma per stasera vedo di studiare un po' la soluzione che hai postato e poi ti faccio sapere, anche se è meglio che non ti aspetti nulla da me.
Intanto se c'è qualcun altro che conferma la soluzione o ne trova un'altra tanto meglio.
Ho spezzato il thread, perchè la discussione minacciava di non elementare.
Ecco il link : viewtopic.php?t=8438
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