Campo infinito di caratteristica p
Campo infinito di caratteristica p
Propongo questo quesito carino. Dimostrare l'esistenza di un campo infinito di caratteristica $ ~ p $, per ogni $ ~ p $ primo.
Why would anybody want empathy?
Basta usare il teorema di Lowenheim-Skolem Ascendente, che dice che se una teoria ha un modello numerabile, allora ha un modello di cardinalità $~\kappa$, per ogni $\kappa > \alpeh_0$.
Un altro rilancino, tornando al problema iniziale: dimostrare l'esistenza di un campo infinito di caratteristica p, senza esibirne uno
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Un altro rilancino, tornando al problema iniziale: dimostrare l'esistenza di un campo infinito di caratteristica p, senza esibirne uno
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Why would anybody want empathy?
beh, unione (monotona) di campi è un campo, quindi basta dimostrare che ogni campo finito ammette estensioni non banali.
e questo si fa aggiungendo una radice di un polinomio irriducibile, alla kronecker.
sufficientemente poco esibizionista, come soluzione?![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
(non che quella con la chiusura algebrica lo fosse granché...)
comunque, allora metto il rilancino sul rilancino: esibire un campo di cardinalità $ \kappa\ge\aleph_0 $ per ogni caratteristica.
e questo si fa aggiungendo una radice di un polinomio irriducibile, alla kronecker.
sufficientemente poco esibizionista, come soluzione?
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comunque, allora metto il rilancino sul rilancino: esibire un campo di cardinalità $ \kappa\ge\aleph_0 $ per ogni caratteristica.
??? Le funzioni razionali a coefficienti in $ \mthbf F_p $, per caratteristica positiva. $ \mathbf Q $, se caratteristica zero. ???ma_go ha scritto:esibire un campo di cardinalità $ \kappa\ge\aleph_0 $ per ogni caratteristica.
Forse intendevi $ [tex] $> \aleph_0$ ? $
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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La dimostrazione a cui mi riferivo io del quesito iniziale è di tipo logico: si dimostra che se un insieme di formule ha modelli arbitrariamente grandi, allora con il teorema di compattezza, ha un modello infinito. Basta prendere l'insieme delle formule che dicono che esiste un campo di caratteristica $p$, che ha modelli arbitrariamente grandi (p^k, per k arbitrariamente grande), quindi ha anche un modello infinito (i.e., esiste un campo di caratteristica p, per ogni p primo).
Per il tuo ultimo rilancio, basta usare il teorema di Lowenheim-Skolem Ascendente, come dicevo, e abbiamo modelli di qualsiasi cardinalità maggiore di $ \aleph_0 $.
Saluti
Per il tuo ultimo rilancio, basta usare il teorema di Lowenheim-Skolem Ascendente, come dicevo, e abbiamo modelli di qualsiasi cardinalità maggiore di $ \aleph_0 $.
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