Campo infinito di caratteristica p

[Reese]

Propongo questo quesito carino. Dimostrare l'esistenza di un campo infinito di caratteristica $ ~ p $, per ogni $ ~ p $ primo.

[Marco]

Boh ce n'è tanti... le funzioni razionali a coefficienti in $ \mathbf F_p $?

[ma_go]

un modo meno costruttivo: la chiusura algebrica di $ \mathbb{F}_p $?

comunque, direi che ci sta il rilancino:
dimostrare che per ogni cardinale infinito $ \kappa $ esiste un campo di caratteristica $ p $ di cardinalità $ k $.

[Reese]

Basta usare il teorema di Lowenheim-Skolem Ascendente, che dice che se una teoria ha un modello numerabile, allora ha un modello di cardinalità $~\kappa$, per ogni $\kappa > \alpeh_0$.

Un altro rilancino, tornando al problema iniziale: dimostrare l'esistenza di un campo infinito di caratteristica p, senza esibirne uno .

[ma_go]

beh, unione (monotona) di campi è un campo, quindi basta dimostrare che ogni campo finito ammette estensioni non banali.
e questo si fa aggiungendo una radice di un polinomio irriducibile, alla kronecker.
sufficientemente poco esibizionista, come soluzione?
(non che quella con la chiusura algebrica lo fosse granché...)

comunque, allora metto il rilancino sul rilancino: esibire un campo di cardinalità $ \kappa\ge\aleph_0 $ per ogni caratteristica.

[Marco]

esibire un campo di cardinalità $ \kappa\ge\aleph_0 $ per ogni caratteristica.

??? Le funzioni razionali a coefficienti in $ \mthbf F_p $, per caratteristica positiva. $ \mathbf Q $, se caratteristica zero. ???

Forse intendevi $ [tex] $> \aleph_0$ ? $

[FrancescoVeneziano]

Credo intendesse per ogni cardinale $ \kappa \geq \aleph_0 $ e per ogni caratteristica, e direi che basta prendere le funzioni razionali in tante variabili (tante=$ \kappa $).

[ma_go]

già, era quello che diceva venez.
tanto per inciso, serve l'assioma della scelta per dimostrare che la soluzione funziona :p quindi potrebbe non essere così ovvio a priori

[Reese]

La dimostrazione a cui mi riferivo io del quesito iniziale è di tipo logico: si dimostra che se un insieme di formule ha modelli arbitrariamente grandi, allora con il teorema di compattezza, ha un modello infinito. Basta prendere l'insieme delle formule che dicono che esiste un campo di caratteristica $p$, che ha modelli arbitrariamente grandi (p^k, per k arbitrariamente grande), quindi ha anche un modello infinito (i.e., esiste un campo di caratteristica p, per ogni p primo).

Per il tuo ultimo rilancio, basta usare il teorema di Lowenheim-Skolem Ascendente, come dicevo, e abbiamo modelli di qualsiasi cardinalità maggiore di $ \aleph_0 $.

Saluti