determinare il dominio di convergenza

[J@ckH@mm€r]

$ \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}{ \frac {(n!)^{2}} {(2 \cdot n)!}\cdot(\frac {\sin{(2 \cdot x)}\cdot \cos {(4 \cdot x)}} {(x^{2}-1)})^{2 \cdot n}} $

se scrivo:

$ \displaystyle y=\frac {\sin{(2 \cdot x)}\cdot \cos {(4 \cdot x)}} {(x^{2}-1)} $

ottengo :

$ \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{ \frac {(n!)^{2}} {(2 \cdot n)!}\cdot y^{2 \cdot n} $

che mi sembra molto simile ad una serie geometrica, pero' come posso "sbarazzarmi" di $ \displaystile\frac {(n!)^{2}} {(2n)!} $ ?

[J@ckH@mm€r]

se scrivo:

$ \dispalystile \sum_{n=0}^{+\infty}{\frac {y^{2n}} {2n!} \cdot (n!)^{2}} $

ottengo qualcosa di "simile" allo sviluppo si taylor del

$ \cos x= \dispalystile\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} \cdot \frac {x^{2n}} {(2n)!} $

questo mi puo' essere d'aiuto in qualche modo?

[EvaristeG]

Ma vuoi calcolarla o determinare dove converge?
Per la seconda, non basta il raggio di convergenza?

[J@ckH@mm€r]

devo determinare il raggio di convergenza.
su alcuni testi o dispense prese da internet ho trovato che i modi piu' semplici per determinare il raggio di convergenza sono calcolare uno dei seguenti limiti:

$ \displaystile \lim_{n\to\infty} \frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|} $

oppure

$ \displaystile \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}} $

il raggio di convergenza e poi da li' ricavare il dominio di convergenza. pero' nell'applicare uno dei due modi mi ritrovo sempre con la frazione tra i fattoriali e non so' come trattarla.

[SkZ]

e se ben ricordo, i due limiti se esistono sono uguali

[J@ckH@mm€r]

si vien un numero $ L $ che e' l'inverso del raggio ci convergenza ora per studiarlo su alcune dispense che ho trovato in rete, mi sembra che sia piuì facile studiare la convergenza su una serie geometrica. pero' con i fattoriali ci litigo un po' e non riesco a capire come fare.

[EvaristeG]

Allora .. il raggio di convergenza è
$ r=\displaystyle{\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}}=\liminf_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{a_n}}} $
nel tuo caso
$ \displaystyle{\frac{(n!)^2}{(2n)!}\leq\frac{(n/2)^{2n}}{(2n/3)^{2n}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{2n} $
usando le stime
$ (n/3)^n\leq n!\leq (n/2)^n $ che si dimostrano per induzione.
Allo stesso modo si può ottenere una stima dal basso
$ \displaystyle{\frac{(n!)^2}{(2n)!}\geq \frac{(n/3)^{2n}}{(2n/2)^{2n}}=\left(\frac{2}{6}\right)^{2n}} $
Quindi il raggio di convergenza è compreso tra $ 16/9 $ e $ 9 $, se non ho sbagliato i conti (cosa probabile).

Se invece conosci le approssimazioni di stirling per il fattoriale, ovvero sai che
$ \log n! \sim n\log n-n $ per n all'infinito,
puoi vedere che
$ \log\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}\sim\log\dfrac{1}{2^{2n}} $
e dunque il raggio di convergenza dovrebbe essere 4.

Non so se c'è un metodo più facile...

[J@ckH@mm€r]

mi spiace ma c'e un errore da qualche parte, perche il raggio di convergenza deve venire $ \infty $.... =(

[moebius]

Non ho controllato i conti di EvaristeG, però devi considerare che il raggio di convergenza che ha trovato lui è per la serie di potenze. Devi risostituire se lo vuoi per la serie iniziale.
Posso dire però che mi sembra difficile che venga $ ~\infty $ dato che in $ ~\pm 1 $ non è nemmeno defininta?

Edit: Ok, non ho resistito, ho fatto i conti con il criterio del rapporto (che sinceramente mi sembrava più facile) ed anche a me viene 4 per la serie di potenze, quindi il raggio di convergenza della serie originale deve essere finito, essendo la roba che abbiamo chiamato y illimitata.