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Troppi limiti
Troppi limiti
sia x_n una successione iniettiva sui reali tale che x_i sia un punto limite per ogni i. Dimostrare che questa successione ammette un'infinità più che numerabile di punti limite (aka: valori reali per cui esiste almeno una sottosuccessione che converge a tale valore)
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Ultima modifica di mitchan88 il 28 ott 2007, 23:47, modificato 1 volta in totale.
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Membro del fan club di Ippo_
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Il problema è che quella successione non ha punti limite. E' facile confondersi tra queste due definizioni:
sia X un sottoinsieme di {R, o spazio metrico, o spazio topologico}.
Allora:
- a è nella chiusura di X se ogni aperto che interseca a, interseca $ ~ X $
- a è un punto limite di X se ogni aperto che interseca a, interseca $ ~ X \setminus \{a\} $
Banalmente ogni punto di X è nella chiusura, ma potrebbe non essere un punto limite. Inoltre la chiusura è l'unione di X e dell'insieme dei punti limite di X.
sia X un sottoinsieme di {R, o spazio metrico, o spazio topologico}.
Allora:
- a è nella chiusura di X se ogni aperto che interseca a, interseca $ ~ X $
- a è un punto limite di X se ogni aperto che interseca a, interseca $ ~ X \setminus \{a\} $
Banalmente ogni punto di X è nella chiusura, ma potrebbe non essere un punto limite. Inoltre la chiusura è l'unione di X e dell'insieme dei punti limite di X.
) secondo me l'elemento fuorviante è che il mitch parla di una "successione" $ ~ x_n $, mentre bastava parlare di un insieme di punti.
Per essere chiari:
1) i concetti di punto limite e chiusura di un insieme li ha già enunciati correttamente edriv.
2) il concetto di punto limite di una successione è diverso ed è quello formulato con le sottosuccessioni:
data la successione $ \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} $ si dice che x è un suo punto limite se esiste una successione $ \{n_k\}_{k\in\mathbb{N}} $ di naturali tale che la sottosuccessione $ \{x_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}} $ converge ad x.
Certo, i punti limite di una successione appartengono alla chiusura del supporto della successione (cioè il sottoinsieme dei reali dato dall'unione dei valori della successione), ma non è detto che coincidano con essa; inoltre sicuramente i punti limite del supporto sono punti limite della successione, ma il viceversa non è vero.
Esempi:
*) la successione $ n\mapsto |\cos(n\pi/2)| $ vale alternativamente 0 e 1, ha come punti limite 0,1 ma il suo supporto $ \{0,1\} $ non ha punti limite
*) la successione $ n\mapsto |\cos(2^n\pi/2)| $ vale 0,1,1,1,1,... e dunque ha come unico punto limite 1, ma il suo supporto è lo stesso di quella di prima
*) la successione $ n\mapsto (1+(-1)^n)^{1/n} $ ha punti limite 0 e 1, mentre il suo supporto $ \{0,\sqrt{2}, \sqrt[4]{2}, \ldots\} $ ha come punto limite 1, mentre ha come chiusura l'insieme $ \{0,1,\sqrt{2},\sqrt[4]{2},\ldots,\} $.
1) i concetti di punto limite e chiusura di un insieme li ha già enunciati correttamente edriv.
2) il concetto di punto limite di una successione è diverso ed è quello formulato con le sottosuccessioni:
data la successione $ \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} $ si dice che x è un suo punto limite se esiste una successione $ \{n_k\}_{k\in\mathbb{N}} $ di naturali tale che la sottosuccessione $ \{x_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}} $ converge ad x.
Certo, i punti limite di una successione appartengono alla chiusura del supporto della successione (cioè il sottoinsieme dei reali dato dall'unione dei valori della successione), ma non è detto che coincidano con essa; inoltre sicuramente i punti limite del supporto sono punti limite della successione, ma il viceversa non è vero.
Esempi:
*) la successione $ n\mapsto |\cos(n\pi/2)| $ vale alternativamente 0 e 1, ha come punti limite 0,1 ma il suo supporto $ \{0,1\} $ non ha punti limite
*) la successione $ n\mapsto |\cos(2^n\pi/2)| $ vale 0,1,1,1,1,... e dunque ha come unico punto limite 1, ma il suo supporto è lo stesso di quella di prima
*) la successione $ n\mapsto (1+(-1)^n)^{1/n} $ ha punti limite 0 e 1, mentre il suo supporto $ \{0,\sqrt{2}, \sqrt[4]{2}, \ldots\} $ ha come punto limite 1, mentre ha come chiusura l'insieme $ \{0,1,\sqrt{2},\sqrt[4]{2},\ldots,\} $.
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alexlor8083
- Messaggi: 11
- Iscritto il: 10 ott 2007, 20:23
- Località: Aci Catena
Provo a spiegare evitando di formalizzare il ragionamento.
Posso incastrare la successione (almeno una parte 'consistente' di essa) dentro un
insieme A limitato mantenendo la proprietà enunciata nell'ipotesi.
Ora, due estratte che convergono a due limiti diversi hanno al più un numero
finito di elementi in comune. Si ricordi (vedi topic Famiglie non numerabili) che dato un insieme numerabile
posso selezionare una famiglia non numerabile di suoi sottoinsiemi quasi disgiunti (intersezione finita).
Poichè ogni sottoinsieme (successione) di questa famiglia non numerabile ammette un punto limite
(è contenuto in un insieme limitato A) il gioco è fatto.
Posso incastrare la successione (almeno una parte 'consistente' di essa) dentro un
insieme A limitato mantenendo la proprietà enunciata nell'ipotesi.
Ora, due estratte che convergono a due limiti diversi hanno al più un numero
finito di elementi in comune. Si ricordi (vedi topic Famiglie non numerabili) che dato un insieme numerabile
posso selezionare una famiglia non numerabile di suoi sottoinsiemi quasi disgiunti (intersezione finita).
Poichè ogni sottoinsieme (successione) di questa famiglia non numerabile ammette un punto limite
(è contenuto in un insieme limitato A) il gioco è fatto.
Bella l'idea di usare quel fatto sui sottoinsiemi quasi disgiunti... non pensavo potesse tornare subito utile!
Però non capisco la tua soluzione, intanto, tu prendi i punti limite di alcune sottosuccessioni, quindi ti sarebbe utile sapere che due sottosuccessioni diverse hanno punti limiti diversi, ma questo non è vero a priori anche sapendo che hanno finiti punti in comune. Hai a disposizione la fraccia apposta: se sono diverse allora hanno finiti punti in comune, che però non ti serve.
Poi non vedo neanche dove usi l'ipotesi che ogni punto della successione sia anche punto limite.
Però non capisco la tua soluzione, intanto, tu prendi i punti limite di alcune sottosuccessioni, quindi ti sarebbe utile sapere che due sottosuccessioni diverse hanno punti limiti diversi, ma questo non è vero a priori anche sapendo che hanno finiti punti in comune. Hai a disposizione la fraccia apposta: se sono diverse allora hanno finiti punti in comune, che però non ti serve.
Poi non vedo neanche dove usi l'ipotesi che ogni punto della successione sia anche punto limite.
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alexlor8083
- Messaggi: 11
- Iscritto il: 10 ott 2007, 20:23
- Località: Aci Catena
Hai ragione edriv!!!
In quel modo non si va da nessuna parte, mi ero convinto
di potere usare in modo fruttuoso quel risultato sulle famiglie non numerabili.
Che pirla!
In tutti i casi, sfrutto quella proprietà degli elementi della successione
di essere ciascuno punto limite per poterne incastrare una parte 'consistente' dentro un insieme limitato.
E quindi ricondurre la discussione al caso 'successione limitata e bla bla'
Dopodiché uso il risultato dell'esercizio 6 dell'allegato.
In quel modo non si va da nessuna parte, mi ero convinto
di potere usare in modo fruttuoso quel risultato sulle famiglie non numerabili.
Che pirla!
In tutti i casi, sfrutto quella proprietà degli elementi della successione
di essere ciascuno punto limite per poterne incastrare una parte 'consistente' dentro un insieme limitato.
E quindi ricondurre la discussione al caso 'successione limitata e bla bla'
Dopodiché uso il risultato dell'esercizio 6 dell'allegato.
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