A è l'insieme di cerchi di raggio $ ~ \frac 12 $ appoggiati sugli interi: (se non si vedesse l'immagine, A è l'insieme dei cerchi di raggio 1/2 e centro (n, 1/2) con n che varia tra gli interi)
B è il più piccolo insieme di cerchi che contenga A e tale che, comunque presi due cerchi tangenti di B, esiste un cerchio di B tangente a quei due e alla retta y=0.
Sia Q l'insieme dei punti di tangenza dei cerchi di B con la retta y=0.
Dimostrare che Q è l'insieme dei numeri razionali.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
Se poi qualcuno, oltre a ostentare comicità, proponesse un approccio al problema...
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
1) Provate a scrivere un po' di quelle circonferenze:
ad esempio, prendiamo quelle che toccano in 0 e 1; la circonferenza tangente a loro due e alla retta tange per simmetria in 1/2 .. quanto vale il suo raggio? E se vado avanti e metto una cfr tra quella in 0 e quella in 1/2?
2) Provate a trovare delle formule qua e là, per calcolare cose utili, ad esempio, se ho due circonferenze tangenti tra loro di raggi $ r_1,r_2 $ che tangono la retta nei punti $ a_1,a_2 $ che relazioni ci sono tra i punti di tangenza e i raggi? E poi, se volessi mettere una terza circonferenza che tocchi le prime due e la retta, di raggio $ r_3 $ e tangente in $ a_3 $, quale legame ci dovrebbe essere tra i tre raggi e i tre punti di tangenza?
3) Cercare se ci sono simmetrie nella configurazione.
4) Scoprire "in che modo" vengono ottenuti tutti i razionali, provando ad individuare in questo procedimento geometrico una "costruzione" dei razionali.
E guardate che questi sono tutti consigli di "buon senso" che potrei darvi anche se non sapessi come si risolve il problema...sono le prime cose che ognuno dovrebbe provare a fare davanti a un quesito: giocarci un po', stuzzicarlo per vedere come si comporta, girargli intorno facendo finta di niente e osservandone il comportamento ... ok, non è un animale, ma funziona uguale.
Quanto a simmetrie, periodi etc... si vede chiaramente che è sufficiente dimostrare che vengono generati tutti i razionali compresi fra $ 0 $ e $ 1 $; inoltre per ragioni di simmetria ci si può limitare addirittura al solo intervallo $ (0,\frac12) $.
Ora, se due circonferenze di raggio $ r_1 $ e $ r_2 $ sono tangenti fra di loro e i punti di tangenza sulla retta distano $ d $, allora vale la relazione $ d^2=4r_1r_2 $.
Se ci sono tre circonferenze $ \Gamma_1 $, $ \Gamma_2 $ e $ \Gamma_3 $ di raggio $ r_1 $, $ r_2 $ e $ r_3 $ che sono tutte tangenti fra di loro e i cui punti di tangenza sulla retta sono $ T_1 $, $ T_2 $ e $ T_3 $, tali che $ T_1T_3=d_1 $, $ T_3T_2=d_2 $ e $ T_1T_2=d_1+d_2=d $, allora valgono le relazioni
$ d^2=4r_1r_2 $
$ d_1^2=4r_1r_3 $
$ d_2^2=4r_2r_3 $
dalle quali si può ricavare per esempio $ d_1 $, che fornisce il nuovo numero razionale trovato.
Questo però non mi sembra condurre a una semplice regola sull'ordine con cui vengono generati tutti i razionali.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
