continuità delle funzioni derivabili

[angus89]

Proprio ieri stavo studiando le derivate, precisamente il fatto che una funzione derivata sia anche continua, e il mio testo dimostra questa cosa facendo una dimostrazione assurda, cioè vera, ma complicatissima, e così ho fatto dei cambiamenti rendendola molto più semplice e intuitiva, ma naturalmente potrei aver commesso degli errori

Cominciamo

la funzione è derivata nel punto $ x_0 $

$ \begin{displaymath} lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=Dy \end{displaymath} $

dato che Dy è indipendente dal variare di h è possibile affermare che

$ lim_{h\to 0}Dy=Dy $

$ lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=lim_{h\to 0}Dy $

A questo punto è possibile togliere il limite dato che se
$ lim_{x\to c}f(x)=lim_{x\to c}f(x+y) $ allora $ f(x)=f(x+y) $

Quindi nel nostro caso
$ \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=Dy\\ f(x_0+h)-f(x_0)=Dy \cdot h $

Ora applichiamo il liimite a tutti i menbri(su questo passaggio non sono tanto sicuro ma anche il mio testo lo fà)

$ lim_{h\to 0}f(x_0+h)-f(x_0)=lim_{h\to 0}Dy \cdot h\\ lim_{h\to 0}Dy \cdot h=0\\ lim_{h\to 0}f(x_0+h)-f(x_0)=0\\ lim_{h\to 0}f(x_0+h)-lim_{h\to 0}f(x_0)=0\\ lim_{h\to 0}f(x_0+h)=lim_{h\to 0}f(x_0) $

L'ultima affermazione dimostra il teorema...
E giusto?

[EvaristeG]

Allora ... primo si dice "funzione derivabile" non "funzione derivata".
Secondo, cos'è Dy????

[EvaristeG]

Comunque, la dimostrazione di solito non è per nulla complicata:
f è derivabile in x se e solo se
$ \displaystyle{\lim_{y\to x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}} $
esiste finito. Sia L il valore di tale limite.
Allora
$ \displaystyle{\lim_{y\to x}f(y)-f(x)=\lim_{y\to x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}(y-x)} $
ma il primo fattore ha limite L e il secondo ha limite 0. Quindi
$ \displaystyle{\lim_{y\to x}f(y)-f(x)=L\cdot0=0 $
ovvero
$ \displaystyle{\lim_{y\to x}f(y)=f(x) $
e dunque f è continua in x.

[angus89]

Allora ... primo si dice "funzione derivabile" non "funzione derivata".
Secondo, cos'è Dy????

si hai ragione scusa...cavolo di errori...eeee la fretta

Dy è il valore che assume la funzione derivata nel punto $ x_0 $

[EvaristeG]

Comunque, dove dici che puoi togliere il limite sbagli... la tua dimostrazione dice in pratica che tutte le funzioni derivabili sono della forma
$ f(x)=ax+b $
il che mi sembra falso.
Non è vero che se due cose hanno lo stesso limite allora coincidono vicino al limite.

[angus89]

Comunque, dove dici che puoi togliere il limite sbagli... la tua dimostrazione dice in pratica che tutte le funzioni derivabili sono della forma
$ \displaystyle{f(x)=ax+b} $
il che mi sembra falso.
Non è vero che se due cose hanno lo stesso limite allora coincidono vicino al limite.

capisco...in pratica quel passaggio mi sballa tutta la dimostrazione

quindi è vero che se
$ am+b=cm+d $
allora
$ \displaystyle{\lim_{m \to c}am+b=\lim_{m \to c}bm+d} $

ma non il contrario

[angus89]

$ \displaystyle{\lim_{y\to x}f(y)-f(x)=\lim_{y\to x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}(y-x)} $

Come giustifichi questo passaggio?
Il pratica hai posto

$ \displaystyle\lim_{y\to x}{\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=\lim_{y\to x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}} $

E poi hai spostato il termine al denominatore del primo limite moltiplicandolo per il secondo limite...

E' questo quello che hai fatto?
Moltiplicare a entrambe le parti per$ \displaystyle{\lim_{y\to x}{y-x}} $

[Al]

No, i limiti non si moltiplicano tanto bene, semplicemente vale

$ \displaystyle f(y)-f(x)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}(y-x) $

per ogni $ x $ ed $ y $ dove entrambe le espressioni sono definite.
Quindi, dove ambedue hanno limite, questi coincidono.

Al