"Descrivete" l'insieme di tutti i polinomi $ ~ f(x,y,z,w)\in \mathbb{C}[x,y,z,w] $ tali che
$ ~ f(n,2^n,3^n,6^n)=0 $ per ogni naturale n.
Sì, è vero, "descrivete" non è un problema ben posto, comunque c'è una caratterizzazione molto semplice.
La domanda precisa sarebbe:
esibite dei polinomi $ ~ g_1,\dotsc , g_m \in \mathbb{C}[x,y,z,w] $ tali che i polinomi con la proprietà richiesta siano tutti e soli quelli che si scrivono come combinazione lineare dei g_i a coefficienti altri polinomi.
{(n,2^n,3^n,6^n)} non è Zariski-denso
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FrancescoVeneziano
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{(n,2^n,3^n,6^n)} non è Zariski-denso
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.
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FrancescoVeneziano
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visto che wolverine ha dimostrato che tutti i polinomi multipli di w-yz vanno bene, supponiamo che P sia un polinomio che va bene (ma non di quel tipo), e scrivendo yz al posto di ogni sua w troviamo un polinomio non nullo Q(x,y,z) che si annulla per ogni $ ~ (n,2^n,3^n) $, e da qua vogliamo cercare un assurdo.
Q lo possiamo scrivere come somma di polinomi della forma:
$ ~ f(x)y^iz^j $ (con f polinomio)
sia $ ~ a_{i,j} = 2^i3^j $. Per la fattorizzazione unica degli interi, a coppie (i,j) distinte associamo $ ~ a_{i,j} $ distinti. Quindi, prendento il polinomio Q, troviamo degli interi positivi $ ~ a_{i,j} $ (tutti distinti) e dei polinomi $ ~ f_{i,j} \in \mathbb{C}[x] $ non nulli tali che, per ogni $ ~n \in \mathbb{N} $:
$ ~ \sum_{i,j} f(n)a_{i,j}^n = 0 $
Arrivati qui, potremmo prendere il $ ~ a_{i,j} $ più grande e attraverso delle disuguaglianze non troppo assurde capire che, per n grande, $ ~ f(n)a_{i,j}^n $ è più grande in modulo della somma dei moduli di tutti gli altri addendi. QED
Q lo possiamo scrivere come somma di polinomi della forma:
$ ~ f(x)y^iz^j $ (con f polinomio)
sia $ ~ a_{i,j} = 2^i3^j $. Per la fattorizzazione unica degli interi, a coppie (i,j) distinte associamo $ ~ a_{i,j} $ distinti. Quindi, prendento il polinomio Q, troviamo degli interi positivi $ ~ a_{i,j} $ (tutti distinti) e dei polinomi $ ~ f_{i,j} \in \mathbb{C}[x] $ non nulli tali che, per ogni $ ~n \in \mathbb{N} $:
$ ~ \sum_{i,j} f(n)a_{i,j}^n = 0 $
Arrivati qui, potremmo prendere il $ ~ a_{i,j} $ più grande e attraverso delle disuguaglianze non troppo assurde capire che, per n grande, $ ~ f(n)a_{i,j}^n $ è più grande in modulo della somma dei moduli di tutti gli altri addendi. QED
Semplice.. semplice
$ f(x,y,z,w)=(x-log_2{y})(w-yz)h(x,y,z.w) $
Ultima modifica di emarmotto il 18 dic 2007, 10:16, modificato 4 volte in totale.