1) Determinare una parametrizzazione dell'equatore nella sfera S^2 C R^2 che sia della forma gamma : I=[0,2pgreco] -> S^2 e determinare il valore t0 E I t.c. gamma(t0)=(1/sqrt(2),1/sqrt(2),0)=P. Determinare una parametrizzazione del cerchio massimo beta per P inclinato di pigreco/6 rispetto all'equatore, cioè in modo che beta(t1)=P e beta'(t1) formi un angolo di pigreco/6 con gamma'(t0) in P. Determinare la torsione di beta. Svolgere l'esercizio in 2 modi: (1) calcolo diretto e (2) usando un'isometria di R^3
2) Provare che l'evoluta della spirale logaritmica alfa(t)=((e^-at)*cos(t), (e^-at)*sen(t), 0) dove a è un reale positivo che coincide con la curva stessa a meno di una rotazione e di un'omotetia. Determinare l'ascissa curvilinea di alfa e provare che la curvatura di alfa, come funzione dell'ascissa curvilinea, è della forma k(s) = 1/(-as+c) (*) dove c è una costante.
Provare che la curvatura di beta di una curva alfa con curvatura crescente è della forma kbeta = kalfa^3/kalfa' se beta e alfa differiscono per una rotazione ed un'omotetia si deve avere kbeta = alfa*kalfa quindi la curvatura della curva alfa deve verificare un'equazione differenziale. Provare che le soluzioni sono date dalla (*)
3) Data una curva piana alfa. Provare che le rette normali ad alfa sono tutte equidistanti da un punto se e solo se esistono costanti a,b t.c. k(s)=+- 1/(sqrt(as+b))
4) Sia alfa una curva R -> R^3 che rappresenti il centro di massa di un aereo in volo. L'aereo è un corpo rigido e, lungo alfa, ruoterà intorno ad un asse passante per il centro di massa. La rotazione è rappresentata da un vettore di velocità angolare lungo alfa dato da omega : R -> R^3 la cui direzione è l'asse di rotazione ed il cui modulo fornisca la velocità angolare di rotazione intorno all'asse. Fissato un punto P sull'aereo sia r : R -> R^3 il campo lungo alfa che rappresenta la congiungente fra centro di massa e P. Si ha allora r'=omega vettor r. In particololare se T,N,B è il riferimento di Frenet di alfa si ha
T'=omega vettor T , N'=omega vettor N , B'=omega vettor B.
Provare che omega=tT+kB dove k, t sono la curvatura e torsione di alfa. Provare che T' vettor T''=omega*k^2 nel caso alfa(s)=(a*cos(s/c), a*sen(s/c),b*(s/c)) con c=sqrt(a^2+b^2) , calcolare omega(s) e descrivere il moto dell'estremità di una delle ali come funzione del tempo
Se qualcosa non è chiaro ditemelo CIAO