n^4 + 4^n primo
- matemark90
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n^4 + 4^n primo
Per quali n naturali $ n^4+4^n $ è primo?
Hasta la Carla... SIEMPRE!!!
Per tre cose vale la pena di vivere: la matematica, la musica e l'amore.
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- matemark90
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Ah scusate, me lo avevano proposto qualche giorno fa a un incontro in preparazione ai provinciali ed è stato quello che mi sembrava più interessante (e mi ha fatto "perdere" più tempo). Comunque è bello
Hasta la Carla... SIEMPRE!!!
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- matemark90
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Diciamo subito che $ \displaystyle n $ deve essere dispari. Si vede che $ \displaystyle n=1 $ è una soluzione $ \bigl(\displaystyle (1)^4+4^1=5\bigr) $ mentre $ \displaystyle n=3 $ non lo è. Sia allora $ \displaystyle n\geq 5 $.
$ n^4+4^n=n^4+2^{2n} $ $ =n^4+2^{2n}+2\cdot 2^n n^2-2\cdot 2^n n^2 $ $ =(n^4+2\cdot 2^n n^2+ 2^{2n})-2\cdot 2^n n^2 $ $ =(n^2+2^n)^2-2^{n+1}n^2 $ $ =(n^2+2^n+2^{\frac{n+1}{2}}n)(n^2+2^n-2^{\frac{n+1}{2}}n) $
Questo è ovviamente sempre un numero composto. Quindi l'unica soluzione è $ \displaystyle n=1 $.
$ n^4+4^n=n^4+2^{2n} $ $ =n^4+2^{2n}+2\cdot 2^n n^2-2\cdot 2^n n^2 $ $ =(n^4+2\cdot 2^n n^2+ 2^{2n})-2\cdot 2^n n^2 $ $ =(n^2+2^n)^2-2^{n+1}n^2 $ $ =(n^2+2^n+2^{\frac{n+1}{2}}n)(n^2+2^n-2^{\frac{n+1}{2}}n) $
Questo è ovviamente sempre un numero composto. Quindi l'unica soluzione è $ \displaystyle n=1 $.
- matemark90
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Ok ma perchè unica soluzione uguale a 1? Bisogna imporre il fattore $ n^2+2^n-2^{\frac{n+1}{2}}n $ uguale a 1 e andare a verificare il valore. Per me non è così immediato dire che 1 è l'unica soluzioneQuesto è ovviamente sempre un numero composto. Quindi l'unica soluzione è n=1
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Hai ragione. Cerchiamo le soluzioni di $ n^2+2^n-2^{\frac{n+1}{2}}n =1 $ per $ n > 5 $. Per $ n = 5 $ sappiamo già che non è verificata. Si ha $ n^2+2^n-2^{\frac{n+1}{2}}n=1 \to 2^{\frac{n+1}{2}}(2^{\frac{n-1}{2}}-n)=1-n^2 $. Il secondo membro è sempre negativo per $ n > 5 $, mentre il primo membro, in particolare $ (2^{\frac{n-1}{2}}-n) $, è sempre positivo. Infatti, per induzione: $ n=7 $, $ (2^{3}-7)>0 $. Assumiamo che sia $ (2^{\frac{n-1}{2}}-n)>0 $ per $ n $ dispari qualsiasi, allora per $ n+2 $ si ha $ 2^{\frac{n+2-1}{2}}-n-2=2\cdot 2^{\frac{n-1}{2}} -n -2 = (2^{\frac{n-1}{2}}-n) + (2^{\frac{n-1}{2}} -2) $ che sono entrambe quantità positive per gli $ n $ suddetti.matemark90 ha scritto: Ok ma perchè unica soluzione uguale a 1? Bisogna imporre il fattore $ n^2+2^n-2^{\frac{n+1}{2}}n $ uguale a 1 e andare a verificare il valore. Per me non è così immediato dire che 1 è l'unica soluzione
- Ponnamperuma
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Ho provato anche a farlo a suon di congruenze, ma mi blocco.
Dopo aver osservato che deve essere n dispari e che 1 è soluzione,
Uso Fermat e trovo che 5 divide ogni f(n), purchè 5 non divida n.
Dovendo trattare i casi n=5k, però, non riesco a sbloccarmi... idee?
Dopo aver osservato che deve essere n dispari e che 1 è soluzione,
Uso Fermat e trovo che 5 divide ogni f(n), purchè 5 non divida n.
Dovendo trattare i casi n=5k, però, non riesco a sbloccarmi... idee?
La grandezza dell'uomo si misura in base a quel che cerca e all'insistenza con cui egli resta alla ricerca. - Martin Heidegger
MIND torna!! :D
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avevo iniziato pure io a farlo cosi..ma ti sei chiesto qual è il problema?
se fai le congruenze modulo $ a_1 $, come nel caso tuo, sempre se sei fortunato (ma ti dico che funziona solo per il 5, e dimmi perchè?), ti aggiusti tutti i numeri tranne quelli congruo 0 mod $ a_1 $. adesso se cerchi altre congruenze modulo $ a_2 $, potrai essere fortunato quanto vuoi , ma i multipli di $ a_2 $ non li aggiusti sicuro, e concludi che hai tutti i numeri tranne quelli multipli di $ a_1 $ e $ a_2 $..data che la dimostrazione deve ( o dovrebbe) essere in un numero finito di righe, e che ilprocesso deve essere iterato (quante volte? ), sei d'accordo che ci sia qualche problema?
se fai le congruenze modulo $ a_1 $, come nel caso tuo, sempre se sei fortunato (ma ti dico che funziona solo per il 5, e dimmi perchè?), ti aggiusti tutti i numeri tranne quelli congruo 0 mod $ a_1 $. adesso se cerchi altre congruenze modulo $ a_2 $, potrai essere fortunato quanto vuoi , ma i multipli di $ a_2 $ non li aggiusti sicuro, e concludi che hai tutti i numeri tranne quelli multipli di $ a_1 $ e $ a_2 $..data che la dimostrazione deve ( o dovrebbe) essere in un numero finito di righe, e che ilprocesso deve essere iterato (quante volte? ), sei d'accordo che ci sia qualche problema?
The only goal of science is the honor of the human spirit.