si capisco...mi veniva da ragionare solo con i fattori primi
Comunque...
A questo punto...aspetto la soluzione...
Piacevole problemino [diofantea]
Premetto che è la prima volta che tento un problema di questo livello... Quindi, se dovessi sparare cavolate varie, non trattatemi troppo male 
Abbiamo $ p^2-p+1 = n^3 $, da cui si ricava abbastanza facilmente
$ p = \frac{(n-1)(n^2 + n + 1)}{p-1} $ $ (1.0) $
(non può essere $ p=1 $ per ovvi motivi).
Come prima cosa, noto che per $ n=4 $ non ottengo soluzioni.
Ora, $ n-1 $ e $ n^2+n+1 $ non sono coprimi solo se entrambi sono multipli di $ 3 $. Quindi, distinguo due casi:
- $ M.C.D. (n-1 , n^2+n+1) = 3 $
In questo caso posso quindi scrivere $ n = 3n_1 + 1 $. Quindi, la $ 1.0 $ diventa:
$ p = \frac {9n_1(3n_1^2 + 3n_1 + 1)}{p-1} $
Osserviamo che $ n_1 $ e $ 3n_1^2+3n_1+1 $ sono coprimi, Inoltre, siccome $ n_1>1 $, $ 3n_1^2+3n_1+1 > 9n_1 $ . Pertanto, si possono distinguere due ulteriori sottocasi:
- $ 9n_1 = p-1, 3n_1^2 + 3n_1 +1 = p $ $ \Rightarrow 9n_1 = 3n_1^2+3n_1+1 $
le cui soluzioni sono $ n_1=0 $ e $ n_1=2 $, da cui si ottengono i valori $ n=1 $ e $ n=7 $. E' facile verificare che per n=7 si ricava $ p=19 $, mentre per $ n=1 $ non si ottengono soluzioni accettabili.
-$ \frac{9n_1}{9a} = 1, \frac{3n-1^2+n_1+1}{b} = p $, con $ 9a\cdot b=p-1 $ e $ a,b $ coprimi. Da qui si ottiene $ n_1=a $. Sostituendo e tornando agli n, si ottiene $ (3n-3)b^2=(n^2+n+1) $. Il delta di quest'equazione in n è $ 9b^4-18b^2-3=3(3b^4-6b^2-1) $. Per b intero, questo determinante non è mai un quadrato, (contiene un solo fattore 3), pertanto n e b non possono essere interi contemporaneamente, quindi questo caso non porta a soluzioni.
(nota: in teoria dovrei anche analizzare $ \frac{9(n_1^2 + 3n_1 + 1)}{9a}=1 $, ma siccome si risolve subito in un assurdo e per mancanza di allenamento perderei un secolo a scriverlo in latex, facci finta di averlo fatto e passo avanti
-$ M.C.D. (n-1, n^2+n+1) = 1 $
I casi sono analoghi ai precedenti:
- $ n-1 = p-1 $, $ n^2+n+1 = p $
Che non porta a soluzioni accettabili
-$ \frac{n-1}{c}=1 $, $ \frac{n^2+n+1}{d}=p $ $ c \cdot d = p-1 $
Si ottiene $ (n-1)d^2 + d - (n^2+n+1) = 0 $
Il delta è $ 4n^3 $, da cui si ottiene $ n=n_2^2 $; prendendo la soluzione positiva ricavo $ p =2n_2^2+n_2+2 $; andando a sostituire all'inizio non ottengo soluzioni accettabili.
-$ (n^2+n+1)d + 1 = (n-1) $
Che, essendo $ n^2+n+1 > n-1 $ e $ d>1 $, è ovviamente impossibile.
Pertanto, l'unica soluzione accettabile è $ p=19,n=7 $
Ho fatto gli ultimi passaggi di fretta, mi riservo di rifarli nel caso fossero sbagliati o poco chiari.
Abbiamo $ p^2-p+1 = n^3 $, da cui si ricava abbastanza facilmente
$ p = \frac{(n-1)(n^2 + n + 1)}{p-1} $ $ (1.0) $
(non può essere $ p=1 $ per ovvi motivi).
Come prima cosa, noto che per $ n=4 $ non ottengo soluzioni.
Ora, $ n-1 $ e $ n^2+n+1 $ non sono coprimi solo se entrambi sono multipli di $ 3 $. Quindi, distinguo due casi:
- $ M.C.D. (n-1 , n^2+n+1) = 3 $
In questo caso posso quindi scrivere $ n = 3n_1 + 1 $. Quindi, la $ 1.0 $ diventa:
$ p = \frac {9n_1(3n_1^2 + 3n_1 + 1)}{p-1} $
Osserviamo che $ n_1 $ e $ 3n_1^2+3n_1+1 $ sono coprimi, Inoltre, siccome $ n_1>1 $, $ 3n_1^2+3n_1+1 > 9n_1 $ . Pertanto, si possono distinguere due ulteriori sottocasi:
- $ 9n_1 = p-1, 3n_1^2 + 3n_1 +1 = p $ $ \Rightarrow 9n_1 = 3n_1^2+3n_1+1 $
le cui soluzioni sono $ n_1=0 $ e $ n_1=2 $, da cui si ottengono i valori $ n=1 $ e $ n=7 $. E' facile verificare che per n=7 si ricava $ p=19 $, mentre per $ n=1 $ non si ottengono soluzioni accettabili.
-$ \frac{9n_1}{9a} = 1, \frac{3n-1^2+n_1+1}{b} = p $, con $ 9a\cdot b=p-1 $ e $ a,b $ coprimi. Da qui si ottiene $ n_1=a $. Sostituendo e tornando agli n, si ottiene $ (3n-3)b^2=(n^2+n+1) $. Il delta di quest'equazione in n è $ 9b^4-18b^2-3=3(3b^4-6b^2-1) $. Per b intero, questo determinante non è mai un quadrato, (contiene un solo fattore 3), pertanto n e b non possono essere interi contemporaneamente, quindi questo caso non porta a soluzioni.
(nota: in teoria dovrei anche analizzare $ \frac{9(n_1^2 + 3n_1 + 1)}{9a}=1 $, ma siccome si risolve subito in un assurdo e per mancanza di allenamento perderei un secolo a scriverlo in latex, facci finta di averlo fatto e passo avanti
-$ M.C.D. (n-1, n^2+n+1) = 1 $
I casi sono analoghi ai precedenti:
- $ n-1 = p-1 $, $ n^2+n+1 = p $
Che non porta a soluzioni accettabili
-$ \frac{n-1}{c}=1 $, $ \frac{n^2+n+1}{d}=p $ $ c \cdot d = p-1 $
Si ottiene $ (n-1)d^2 + d - (n^2+n+1) = 0 $
Il delta è $ 4n^3 $, da cui si ottiene $ n=n_2^2 $; prendendo la soluzione positiva ricavo $ p =2n_2^2+n_2+2 $; andando a sostituire all'inizio non ottengo soluzioni accettabili.
-$ (n^2+n+1)d + 1 = (n-1) $
Che, essendo $ n^2+n+1 > n-1 $ e $ d>1 $, è ovviamente impossibile.
Pertanto, l'unica soluzione accettabile è $ p=19,n=7 $
Ho fatto gli ultimi passaggi di fretta, mi riservo di rifarli nel caso fossero sbagliati o poco chiari.
solo una cosa...la prossima volta prima nel codice latex, prima di scrivere formule, potresti mettere " \dispaystyle"?!
Solo per far vedere meglio...cmq...
La tua soluzione...sinceramente non sò...non ho le competenze, ho provato a vederla un pò ma perderei troppo tempo a capirla.
Spero che qualche utente "esperto" dia il suo parere in modo che possa studiarmela per bene...
A questo punto sono proprio curioso della soluzione...
Codice: Seleziona tutto
[tex] \dispaystyle "formule"...[/tex]La tua soluzione...sinceramente non sò...non ho le competenze, ho provato a vederla un pò ma perderei troppo tempo a capirla.
Spero che qualche utente "esperto" dia il suo parere in modo che possa studiarmela per bene...
A questo punto sono proprio curioso della soluzione...
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
Provo a scrivere la mia soluzione (anche se è essenzialmente uguale a quella scritta sopra) sperando che sia di aiuto a chi vede per le prime volte questi problemi.angus89 ha scritto:A questo punto sono proprio curioso della soluzione...
Osservazione 1: pongo m=n-1 (posso supporre che m sia intero positivo, visto che n=1 non dà soluzioni) e la cosa diventa $ m(m^2+3m+3)=p(p-1) $ quindi $ m|p(p-1) $, ma, essendo p un primo maggiore di m, $ (m,p)=1 $, e quindi $ m|p-1 $
Osservazione 2: pongo km=p-1 con k intero positivo. La tesi diventa $ m^2+3m+3=(km+1)k $ che è un'equazione di secondo grado, variabile m parametro k. Impongo che il determinante sia un quadrato perfetto. Scopro che il determinante è, tranne per k=1,2,3, strettamente compreso tra $ (k^2-3)^2 $ e $ (k^2-2)^2 $, quindi non è un quadrato, controllo i restanti tre casi a mano e trovo l'unica soluzione (che tra l'altro mi era sfuggita risolvendo il problema....).
Ciau
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)
mah...non riesco a capire questo passaggio...piever ha scritto:$ m|p(p-1) $, ma, essendo p un primo maggiore di m, $ (m,p)=1 $, e quindi $ m|p-1 $
Non potrebbe invece essere
$ m^2+3m+3|p-1 $???
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
