Divisibilità ondeggiante

[edriv]

Dimostrare che:

$ \displaystyle 2^{2^{2^3+1}+1}+1 \mid 2^{2^{2^{2^3+1}+1}+1} + 1 $

[bdlmnl88]

vediamo se scrivo delle boiate....

il testo dell'esercizio può essere visto come

$ 2^{{2^{2^{2^{3} + 1} + 1} + 1}} + 1 \equiv 0 mod. \left( 2^{2^{2^{3} + 1} + 1}} +1 \right) $

adesso scrivendo l'uguaglianza $ \left( 2^{2^{2^{3} + 1} + 1}} +1 \right) = a $

abbiamo $ 2^{a} \equiv {-1} mod. \left( a \right) $

equivalente a scrivere $ 2^{a} \equiv 2^{\frac{1}{2} ord_{a} \left( 2 \right)} mod. \left( a \right) $


cioè $ a \equiv \frac{1}{2} ord_{a}\left( 2 \right) mod. \left( ord_{a} \left( 2\right) \right) $

moltiplicando per $ 2 $
si ha

$ 2a \equiv ord_{a} \left( 2 \right) mod. \left( ord_{a} \left( 2 \right) \right) $
da qui si ricava $ a \equiv 0 mod. \left( ord_{a} \left( 2 \right) \right) $

concludendo l'esercizio....

adesso sicuramente avrò scritto delle boiate bestiali .... ma scusatemi perkè sn sl al primo anno d'università in mate ...e questa è la mia prima volta con il LATEX...perdonatemi, e correggetemi soprattutto!!

ciauuu

[edriv]

Non credo di capire... secondo la tua notazione, arrivi a dire che dimostrare la tesi è equivalente a dimostrare che
$ ~ a \equiv \frac 12 \mbox{ord}_a(2) \pmod{\mbox{ord}_a(2)} $
a partire da qua, cioè dalla tesi, moltiplichi per due, dividi per due (che non è bello visto che $ ~ \mbox{ord}_a(2) $ dovrebbe essere pari) e ottieni un assurdo (perchè $ ~ a \equiv 0 \pmod{\mbox{ord}_a(2)} $ equivale a dire $ ~ 2^a \equiv 1 \pmod a $).
Inoltre non usi neanche il fatto che in cima alla mia divisibilità c'era un 3, e non l'ho messo a caso. Ma eri almeno convinto della tua dimostrazione?

Comunque dai, è un problema facile, elementare e (spero) simpatico... guardatelo negli occhi, chiede di essere trattato con delicatezza, mica violentato!

[bdlmnl88]

ufff nn riesco proprio a trovare la soluzione...

[edriv]

Vabeh, non disperarti: fra un po' qualcuno scriverà la soluzione, e allora avrai imparato qualcosa di nuovo, che è bene!

[Shade]

scusa io ci provo...nn so se è giusto...

se chiamo x il primo pezzo posso riscrivere tutto come 2^x +1 congruo a 0 (mod x) dove x è una potenza di 3...ora devo dimostrare che 2^(3^k) + 1 è un multiplo di 3^k giusto???

induzione:
valido per k=1 (8+1=9 è divisibile per 3)
suppongo valido per k=n
dimostro valido per k=n+1 :

2^(3^n+1) + 1 = [2^(3^n)]^3 + 1 = [2^(3^n) + 1][(2^(3^n))^2 - 2^(3^n) + 1]

quindi è divisibile per 3^n

spero sia giusto...

Shade...

[edriv]

Se ho letto bene intendi che:
$ \displaystyle 2^{2^{2^3 + 1} +1} + 1 $ è una potenza di 3?

[bdlmnl88]

come fai a dedurre che $ 2^{2^{2^{3}+1}+1}}+1 $ sia una potenza di $ 3 $ ??

non capisco....

[bdlmnl88]

ci riprovo...

posto sempre $ 2^{2^{2^{3}+1}+1}+1} = a $

abbiamo $ a \arrowvert 2{a}+1 $ cioè $ 2^{a} \equiv -1 \left( a \right) $

che ha come soluzione le potenze di $ 3 $ quindi bisogna dimostrare che $ 2^{2^{2^{3}+1}+1}+1} $ è una potenza di $ 3 $ ....

[jordan]

$ 2^{513}+1\equiv3^4 \pmod{3^5} $

e si cambia strada..

[jordan]

nessuno?
$ 2^3+1 | 2^{2^3+1}+1 $ vero.
posto $ 2^3+1=a $ abbiamo $ a | 2^a+1=ka $ con $ k \equiv a \equiv 1 \pmod 2 $.
siete d'accordo adesso che $ 2^a+1 | 2^{2^a+1}+1=2^{ka}+1 $?