Limite a due variabili!

[korkey]

Salve a tutti,

ho un po' di problemi nella risoluzione dei limiti a due variabili. Ad esempio il limite:

$ $\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{1-cos(xy)}{x^4+y^4} $

come lo risolvo?? Ho provato ad usare le rette di equazione y=mx, ma comunque non ci sono riuscito. Infatti mi viene:

$ $\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{1-cos(x^2m)}{x^4(1+m)} $

e poi come vado avanti??

[darkcrystal]

Pur non sapendo nulla al riguardo tento di dire qualcosa di sensato:

1. ti manca un esponente 4 per m al denominatore della tua seconda frazione;

2. quel limite, adesso, fissato m, è un limite in una sola variabile... quindi dovresti saperlo fare

3. se non ho sbagliato i conti, quel tuo secondo limite viene $ \frac{m^2}{2(m^4+1)} $, che non è indipendente da m: cosa ne concludi sul limite a due variabili?

Ciao!

[korkey]

Allora:
1)Hai ragione ho dimenticato l'esponente.
2)Giusto diventa un semplice limite ad una variabile. Tu come l'hai risolto? Io ho prima molt. e diviso per $ m^2 $, poi ho posto $ mx^2 $=t e di nuovo molt e diviso, ma questa volta per 1+cos(t), dopo vari passaggi ho trovato il risultato. C'è qualche modo più rapido??
3)il limite non esiste

Grazie

[Oblomov]

C'è qualche modo più rapido??

Sì che c'è, basta chiamare in causa un paio di volte de l'Hopital. Cioè viene
$ $\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{1-cos(x^2m)}{x^4(1+m^4)}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{sin(x^2m)\cdot2mx}{4x^3(1+m^4)}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{cos(x^2m)\cdot4m^2x}{8x(1+m^4)}= $$ \displaystyle \frac{m^2}{2(m^4+1)} $ (volendo fare i fini avremmo potuto mettere un H maiuscola sopra al segno di uguale... in effetti, qualcuno sa come si fa con LaTeX?).
Tutto questo naturalmente salvo errori omissioni e boiate.

Salumi.
Ob

[korkey]

Salve di nuovo,

mi servirebbe gentilmente la dimostrazione del teorema "Una funzione differenziabile è continua". Sul mio testo "Elementi di analisi matematica II" non è presente, ma viene riportato soltanto il "Teorema del differenziale", non penso sia lo stesso?? o sbaglio?

[Nonno Bassotto]

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