2x^4+1=y^2

[julio14]

non avevo afferrato!
cmq ora torniamo al problema?

[EUCLA]

Ciao!

Dopo un pò sostituzioni sono arrivato a risolvere
$ 8a^4+1=b^4 $
sono sulla buona strada?

Visto così non saprei, di certo non c'è un unico modo di procedere, e se metti due variabili ti dovrebbe poter servire un sistema (Tipo su cosa è il prodotto $ a^4b^4 $ e cercare poi di ricavarti il loro prodotto in funzione di una sola tra le variabili $ a^4, b^4 $. È un idea eh.)

Magari prova a postare i passaggi!

[Metric]

Dunque y deve essere dispari e dunque $ y=2*k+1 $ sostituendo abbiamo
$ x^4=2k^2+2k $ da cui $ x=2t $ e quindi $ 8t^4=k(k+1) $.
A questo punto abbiamo due casi:
1) $ 8| k $
2)$ 8|(k+1) $

Il secondo non porta a nessuna soluzione mi pare.
Mentre il primo conduce a quello che ho scritto nel post precedente.

[Metric]

Confortato dal buon e paziente Edriv! Continuiamo da quanto detto in precedenza

Partiamo dal secondo caso: abbiamo $ k=8s-1 $ sostituendo e facendo le debite semplificazioni otteniamo
$ t^4=s(8s-1) $ da cui, osservando che, $ (s, 8s-1)=1 $ , abbiamo
$ s=a^4 $ e $ 8s-1=b^4 $ e dunque $ 8a^4-1=b^4 $ che è assurda modulo 8, quindi nessuna soluzione.

Per il primo caso: $ k=8s $ e dunque, procedendo similmente a prima, abbiamo $ 8a^4+1=b^4 $.
Ora è chiaro che b deve essere dispari, quindi posto $ b=2z+1 $ ne deduciamo $ a^4=z(z+1)(2z^2+2z+1) $, ma $ (z,z+1,2z^2+2z+1)=1 $ e dunque tutti e tre i fattori dovrebbere essere quarte potenze. Il che è assurdo a meno che $ k=0 $.
Tornando indietro, ne concludiamo che l'unica soluzione nei naturali è quella banale, cioè $ (0,1) $.
Modulo boiate dovrebbe essere corretto.

Ciao

[EUCLA]

Right!

[Bellaz]

$ (s, 8s-1)=1 $
...
$ (z,z+1,2z^2+2z+1)=1 $

Scusate, ma cosa vogliono dire queste scritture??

[Metric]

Scusami, in effetti potevo essere meno criptico, ma pensavo fosse una notazione standard.
Comunque sia con $ (a,b) $ a,b interi intendo il massimo comun divisore fra a e b.

Ciao

[Bellaz]

Ok, capito.
Grazie mille.

[edriv]

A proposito di notazione, c'è appunto un difetto di notazione nella soluzione di Metric!

$ ~ (a,b,c) = 1 $ vuol dire che non c'è nessun intero maggiore di 1 che divide sia a che b che c.
Ma sapendo che $ ~ abc $ è una quarta potenza, per concludere che sia a che b che c sono quarte potenze, bisogna dimostrare che i numeri sono a due a due coprimi, cioè che:
- non esiste d>1 che divide sia a sia b
- non esiste d>1 che divide sia b sia c
- non esiste d>1 che divide sia c sia a

Però nella soluzione di Metric questa cosa è effettivamente vera quindi nessun problema

[angus89]

Bè ho seguito la soluzione...quanti cambi di variabile...
Io non so se e quando ci sarei arrivato...

Quali sono questi potenti lemmi che ti permettono di dire una cosa così complicata?

Comunque non gradisco questa ironia che trovo distruttiva piuttosto che costruttiva...basta far notare l'errore e basta...

Io mi impegno e sinceramente nn me ne frega niente degli utenti come te che ne approfittano di ogni errore per mettere in ridicolo...
Logico sparar boiate...io ci provo...e non è la prima volta che succede...

[giove]

Io mi impegno e sinceramente nn me ne frega niente degli utenti come te che ne approfittano di ogni errore per mettere in ridicolo...

Sono sicuro, conoscendo Pigkappa, che non era sua intenzione mettere in ridicolo nessuno
Semplicemente la tua affermazione poteva essere data per scontata, ecco tutto.

[Metric]

Eh già! In effetti un ricontrollino a quanto scritto non avrebbe guastato. Ma Edriv veglia su di noi...sicchè

[pi]

Non sarà mica nessuna coppia???

[hoja nasredin]

scusate ma 4x^4+1=y^2
allora 1=(y-2x^2)*(y+2x^2)
quindi esendo tutti naturali 2x^2=0
x=0
y=1

secondo voi va bene questa soluzione

[Sesshoumaru]

scusate ma 4x^4+1=y^2
allora 1=(y-2x^2)*(y+2x^2)
quindi esendo tutti naturali 2x^2=0
x=0
y=1

secondo voi va bene questa soluzione

E' $ 2x^4 $, non $ 4x^4 $