Numero soluzioni equazione di II grado

[Haile]

Dimostrare che l'equazione

$ ax^2 + bx + c = 0 $

con $ a\not=0 $

ha al più due soluzioni.

Dovrebbe essere molto facile l'ho risolto in un modo un po' laborioso per assurdo e mi chiedevo se ne esista uno migliore (probabile).

[Fedecart]

Si può dire molto semplicemente che quella è una parabola e il numero massimo di punti in cui una parabola incontra l'asse delle ascisse è 2 (ma può essere anche 1 o 0)?
Ma in questo caso parliamo solo di soluzioni reali...
Altrimenti ci dovrei pensare un po di più ma so per certo che per dimostrare il teorema fondamentale dell'algebra, che è questo problema generalizzato, ci vuole una buona familiarità con l'analisi, che io non ho...

[Haile]

Si può dire molto semplicemente che quella è una parabola e il numero massimo di punti in cui una parabola incontra l'asse delle ascisse è 2 (ma può essere anche 1 o 0)?
Ma in questo caso parliamo solo di soluzioni reali...
Altrimenti ci dovrei pensare un po di più ma so per certo che per dimostrare il teorema fondamentale dell'algebra, che è questo problema generalizzato, ci vuole una buona familiarità con l'analisi, che io non ho...

Beh, il teorema fondamentale dell'algebra è molto più forte di questa robetta

Anch'io avevo pensato alla parabola, ma preferirei una soluzione algebrica. Anche perchè dovresti dimostrare che un'equazione di II grado è sempre riconducibile al luogo geometrico dei punti bla bla bla (parabola)

[bestiedda]

Si può dire molto semplicemente che quella è una parabola

[SkZ]

e provare con la formula risolutiva
posto $ a\neq0 $ $ b=aB $ e $ c=aC $
$ $ax^2 + bx + c=a(x^2+Bx)+c=a(x^2+Bx+\frac{B^2}{4})+c-\frac{aB^2}{4}$ $$ $ =a\left(x+\frac{B}{2}\right)^2-a\left(\frac{B^2}{4}-C\right)$ $
se $ $ax^2 + bx + c = 0 $ $ allora $ $ a\left(x+\frac{B}{2}\right)^2 -a\left(\frac{B^2}{4}-C\right)=0$ $
$ $ \left(x+\frac{B}{2}\right)^2 =\left(\frac{B^2-4C}{4}\right)$ $

[pic88]

Ruffini vi dice nulla?

[Haile]

Ruffini vi dice nulla?

$ $a(x-x_1)(x-x_2)$ $

Adesso si

[Fedecart]

Si può dire molto semplicemente che quella è una parabola

Cioè? Perchè metti i punti interrogativi?

[Haile]

Si può dire molto semplicemente che quella è una parabola

Cioè? Perchè metti i punti interrogativi?

perchè non è vero che "si può dire semplicemente che quella è una parabola" senza dimostrarlo.

Altrimenti io "dico semplicemente che le soluzioni sono due per il teorema fondamentale dell'algebra" e fine

[Oblomov]

Beh, ma per quello basta un poco di geometria analitica (fuoco nell'origine, retta di equazione $ $y=-d$ $ per direttrice)... comunque ruffini è di certo il metodo più pratico, oltretutto si dimostra senza nemmeno uscire dall'ambito dell'algebra

Saluti
Ob

P.S. @Haile: volendo dimostrare che l'equazione ha al più due soluzioni secondo me è meglio considerare $ $a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ $ e da qui capire che c'è qualcosa che non va

[bestiedda]

Cioè? Perchè metti i punti interrogativi?

perchè non è corretto dire che $ ax^2+bx+c=0 $ rappresenta una parabola. Semmai che $ ax^2+bx+c=y $ con $ \displaystyle a \neq 0 $ è una parabola con asse parallelo all'asse y. Poi si può dire che tutte le parabole di questo tipo possono avere 1 o 2 intersezioni con l'asse x (cioè ponendo y=0)

per $ \displaystyle a=0 $ otteniamo una retta parallela all'asse x, che ovviamente non ha nessuna intersezione con questa







......giusto?

[Fedecart]

Si, avevo pensato la stessa identica cosa ma mi sono espresso male

[Gatto]

Cioè? Perchè metti i punti interrogativi?

perchè non è corretto dire che $ ax^2+bx+c=0 $ rappresenta una parabola. Semmai che $ ax^2+bx+c=y $ con $ \displaystyle a \neq 0 $ è una parabola con asse parallelo all'asse y. Poi si può dire che tutte le parabole di questo tipo possono avere 1 o 2 intersezioni con l'asse x (cioè ponendo y=0)

per $ \displaystyle a=0 $ otteniamo una retta parallela all'asse x, che ovviamente non ha nessuna intersezione con questa

manca anche un $ b = 0 $ (nonchè $ c \not= 0 $ altrimenti quella rettà è proprio l'asse x )