Somma delle mediane

[Anér]

Siano $ a,b,c $ i tre lati di un triangolo tali che $ a+b+c=1 $, e siano $ m_a, m_b, m_c $ le tre mediane. Verificare se
$ \frac{3}{4} \leq m_a+m_b+m_c \leq \sqrt{\frac{3}{4}} $

[mod_2]

Sei sicuro del verso?

[exodd]

perchè a me sembra giusto

[mod_2]

Niente scusate, ritiro tutto, avevo letto un 2 al posto del 4

[EvaristeG]

Sei sicuro del verso?

$ 3/4=0.75=0.25\cdot3\geq(0.5\cdot1.7)^2=(0.85)^2\geq(0.75)^2=(3/4)^2 $
quindi se il verso fosse opposto, sarebbe un po' impossibile.

[mod_2]

Prima parte:

Applicando più volte la disuguaglianza triangolare troviamo:
$ $m_{a_1}+m_{b_1}>c $
$ $m_{b_1}+m_{c_1}>a $
$ $m_{c_1}+m_{a_1}>b $
$ $m_{c_2}+m_{a_2}>\frac{b}{2} $
$ $m_{a_2}+m_{b_2}>\frac{c}{2} $
$ $m_{b_2}+m_{c_2}>\frac{a}{2} $
Sommandoli otteniamo:
$ $2(m_a+m_b+m_c)>\frac{3}{2} \Longrightarrow m_a+m_b+m_c>\frac{3}{4} $

[String]

Scusate, non mi funziona il Latex, nella prima parte dove sta scritto maggiore, vedetelo come minore..
Con la disuguaglianza triangolare si ha:
$ $ a >\frac {2}{3} m_b+\frac {2}{3} m_c $
$ $ b>\frac {2}{3} m_c+\frac {2}{3} m_a $
$ $ c>\frac {2}{3} m_b+\frac {2}{3} m_a $
Sommando membro a membro si ottiene $ \displaystyle m_a+m_b+m_c > \frac {3}{4} $

Sempre con la disuguaglianza triangolare ho:
$ $ m_c<b+\frac {1}{2}c $
$ $ m_a<c+\frac {1}{2}a $
$ $ m_b<a+\frac {1}{2}b $
Sommando si ottiene $ $ m_a+m_b+m_c< \frac {3}{2} $
Quest'ultima disuguaglianza però non è uguale a quella che si voleva dimostrare... ho forse sbagliato?

[EvaristeG]

Mah, non è che hai sbagliato qualcosa... hai dimostrato una cosa sicuramente vera, se è vera la tesi, ma più debole, in quanto $ 3/2>\sqrt{3/4} $.

[String]

se è vera la tesi

Secondo me la tesi è falsa. Con il teorema della mediana applicato su tutte e tre le mediane del triangolo si ha dopo alcuni passaggi:
$ $ a^2+b^2+c^2=\frac {4}{3} (M_a^2+M_b^2+M_c^2) $
Sappiamo però che $ a+b+c=1 $ quindi i tre lati sono tutti<1 e per questo
$ a^2+b^2+c^2<a+b+c $ quindi
$ $ M_a^2+M_b^2+M_c^2<\frac {3}{4} \longrightarrow \sqrt { M_a^2+M_b^2+M_c^2}<\sqrt {\displaystyle \frac {3}{4} $
Ma $ \sqrt {M_a^2+M_b^2+M_c^2}<a+b+c $
Esempio: prendo un triangolo equilatero di lato 2/5: la mediana vale $ $ \frac {\sqrt 3}{5} $ La somma è invece $ $ 3\cdot \frac {\sqrt 3}{5} $ che è maggiore di $ $ \frac {\sqrt3}{2} $
E' giusto?

[exodd]

se è vera la tesi

Secondo me la tesi è falsa. Con il teorema della mediana applicato su tutte e tre le mediane del triangolo si ha dopo alcuni passaggi:
$ $ a^2+b^2+c^2=\frac {4}{3} (M_a^2+M_b^2+M_c^2) $
Sappiamo però che $ a+b+c=1 $ quindi i tre lati sono tutti<1 e per questo
$ a^2+b^2+c^2<a+b+c $ quindi
$ $ M_a^2+M_b^2+M_c^2<\frac {3}{4} \longrightarrow \sqrt { M_a^2+M_b^2+M_c^2}<\sqrt {\displaystyle \frac {3}{4} $
Ma $ \sqrt {M_a^2+M_b^2+M_c^2}<a+b+c $
Esempio: prendo un triangolo equilatero di lato 2/5: la mediana vale $ $ \frac {\sqrt 3}{5} $ La somma è invece $ $ 3\cdot \frac {\sqrt 3}{5} $ che è maggiore di $ $ \frac {\sqrt3}{2} $
E' giusto?

l'esempio non è giusto poichè la somma dei lati deve dare 1
potresti riportare i passaggi con i quali arrivi alla formula iniziale?
e poi radice di 3/4 è comunque minore di 1, cioè di a+b+c, quindi perchè ti meravigli?

[String]

ok, ho sbagliato esempio e ho fatto un pò di confusione Comunque per la formula iniziale ho apllicato 3 volte il teorema della mediana:
$ $ 2{m_a}^2=b^2+c^2-\frac {1}{2} a^2 $
$ $ 2{m_b}^2=c^2+a^2-\frac {1}{2} b^2 $
$ $ 2{m_c}^2=a^2+b^2-\frac {1}{2} c^2 $
Sommando membro a membro si ottiene:
$ $ 2({m_a}^2+{m_b}^2+{m_c}^2)=\frac {3}{2}(a^2+b^2+c^2) $ Quindi
$ $ ({m_a}^2+{m_b}^2+{m_c}^2)=\frac {3}{4}(a^2+b^2+c^2) $
E poi tutto (quasi!) il resto che ho detto prima

e poi radice di 3/4 è comunque minore di 1, cioè di a+b+c, quindi perchè ti meravigli?

Ho sbagliato a scrivere, volevo dire che $ $ \sqrt {M_a^2+M_b^2+M_c^2}<M_a+M_b+M_c $

[exodd]

Ho sbagliato a scrivere, volevo dire che $ $ \sqrt {M_a^2+M_b^2+M_c^2}<M_a+M_b+M_c $

in effetti dovresti dimostrare il contrario...
è un problema....

[Anér]

Mi sono accorto che effettivamente la tesi è sbagliata (comunque avevo chiesto di verificare, quindi non garantivo che la tesi fosse giusta). Basta prendere un triangolo isoscele degenere di base nulla, e si vede che la somma delle mediane è pari al perimetro.

[exodd]

mi hai fatto perdere 10 minuti buoni del mio tempo!!!