Quadrati divisori

[Fedecart]

Trovare tutti gli interi $ k $ tali che $ k^2|k! $
Buon Lavoro!

[String]

Allora, $ k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdot ... \cdot 2\cdot 1=ak^2 $ ovvero $ (k-1)\cdot (k-2)\cdot ... \cdot 2\cdot 1=ak $
Per valori pari di k, nello svolgimento del fattoriale si troverà anche $ $\frac {1}{2}k $, ma quel 2 al denominatore si elimina facilmente vedendo che per $ k>4 $ il prodotto restante è sempre pari.
Per valori dispari di k invece la condizione non è soddisfatta se k è un primo in quanto avendo come divisori solo 1 e se stesso, nello svolgimento del fattoriale non ci sarà mai un prodotto che dia quel primo o un suo multiplo. Al contrario se k non è primo, nello svolgimento del fattoriale si troveranno anche i primi di cui è formato e quindi la condizione iniziale è soddisfatta

[elendil]

Mi sbaglio o k deve essere diverso anche dal quadrato di un primo visto che se $ k=p^2 $ nel fattoriale troveremo $ p^3 $ ma non $ p^4=k^2 $...?

[String]

Non ho capito bene ciò che hai scritto, comunque se k è un quadrato di un primo, nello svolgimento del fattoriale si troverà il primo stesso e anche il suo doppio dato che (se k>2) il quadrato di un numero è sempre maggiore del suo doppio. Quindi si avrà il prodotto $ p\cdot 2p=2p^2 $che è divisibile per $ p^2 $

[elendil]

Hai capito bene: sono io che ho sbagliato!